Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f   :   R *   →   R duas vezes diferenciável e tal que

f ( x )   ≠   0 ,   ∀ x ∈ R * ,   f - 1 = - 2 e   f ( 1 ) = 3

  lim  x → 0 - ⁡ f ( x ) = - ∞ , lim  x → 0 + ⁡ f ( x ) = 0 , lim  x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞ , lim  x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 0

f ' ' x < 0 se { x ≠ 0 e x   <   2 } ,     f ' ' ( x )   =   0 se x   =   2 ,   f ' ' ( x )   >   0   s e   x   >   2

• o gráfico de f ' está dado abaixo

Nestas condições,

(a) prove que f ( x ) > 0 ,   ∀ x > 0

(b) prove que f ( x ) < 0 ,   ∀ x < 0

(c) esboce um possível gráfico de f

Passo 1

Organizando as informações dadas no enunciado, podemos fazer o seguinte quadro:

Além disso, podemos concluir que se existe f ' ' ( x ) e f ' ( x ) para qualquer x ≠ 0 , então f ( x ) é contínua para todo x ≠ 0 . Logo, seu domínio é

D = R *

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Pelo quadro, podemos afirmar que f é crescente no intervalo ( 0,1 ] e positiva em x = 1 , pois f 1 = 3 > 0 . Como

lim x → 0 + ⁡ f x = 0

significa que à medida que x se aproxima de zero pela direita, o valor da função se aproxima de zero também. Já que f 1 = 3 , os valores da função irão diminuir de 3 até próximo de 0 quando x for se aproximando de zero pela direita. Com isso, podemos afirmar que f x > 0 no intervalo ( 0,1 ] .

Agora precisamos provar que f x > 0 no intervalo [ 1 , + ∞ ) , porque assim, consequentemente, provaremos que f x > 0 para todo valor de x maior que zero.

Pelo quadro, temos que

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0

Então, quando x cresce infinitamente a partir de 1 , a função irá de f 1 = 3 para valores positivos muito próximos de zero.

Assim, com certeza podemos afirmar que

f x > 0 ,   ∀ x > 0

Passo 3

(b) Pelo quadro, podemos afirmar que f é crescente no intervalo ( - ∞ , - 1 ) e negativa em x = - 1 , pois f - 1 = - 2 < 0 . Como

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

significa que, a partir de - ∞ , à medida que x tende a - 1 , o valor da função vai de - ∞ até f - 1 = - 2 . Por isso, podemos afirmar que no intervalo ( - ∞ , - 1 ] a função é negativa.

Já no intervalo [ - 1,0 ) , como f - 1 = - 2 e

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

significa que o valor da função irá decrescer de - 2 até - ∞ .

Assim, provamos que

f x < 0 ,   ∀ x < 0

Passo 4

(c) A partir das informações do enunciado e do que descobrimos nos itens anteriores, podemos faze as seguintes afirmações:

  • x = - 1 é um máximo relativo, pois, nesse ponto, o sinal da derivada muda de positivo para negativo
  • x = 0 é uma assíntota vertical, pois lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞  
  • x = 1 é um máximo relativo, pois, nesse ponto, o sinal da derivada muda de positivo para negativo
  • A função é côncava para baixo no intervalo ( - ∞ , 0 ) ⋃ ( 0,2 ) , pois f ' ' x < 0   se x < 2 e x ≠ 0
  • A função é côncava para cima no intervalo ( 2 ,   + ∞ ) , pois f ' ' x > 0 se x > 2
  • x = 2 é ponto de inflexão

Agora podemos esboçar o gráfico, que fica assim:

Resposta

  1. D e m o n s t r a d o
  2. D e m o n s r a d o
  3. F i g u r a   a c i m a

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