Seja

f x = x 2 3 5 2 - x

Faça um esboço do gráfico de f explicitando: domínio, pontos críticos (caso existam), intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão (caso existam) e assíntotas verticais e horizontais ou oblíquas (caso existam).

Passo 1

Vamos lá, começamos a análise com o domínio. Como a gente está trabalhando com um polinômio, não tem nenhum fator limitante para esse domínio. Com isso, o domínio corresponde ao conjunto numérico dos reais:

D o m :   R

Passo 2

Pensando em pontos críticos e crescimento da função a gente tem que observar a derivada primeira desse cara aí:

f ' x = 5 x 2 3 2 - x 5 3 ' = 2 3 5 x - 1 3 2 - 5 3 x 2 3

= 5 3 x - 1 3 - x 2 3 = 5 3 1 - x x 1 3

Temos que o f ' x só será nulo quando x = 1 . Para analisar o sinal de f ' x temos que fazer aquele quadro dos sinais clássico, observando que o sinal só depende do 1 - x e do x 1 3 :

Com isso, a função cresce de 0 até 1 e decresce no resto do domínio. Além disso, x = 1 é um ponto crítico de máximo, já que a derivada é positiva antes desse número e negativa depois dele.

Passo 3

Pensando agora em concavidade temos que derivar esse cara de novo:

f ' ' x = 5 3 x - 1 3 - x 2 3 ' = 5 3 - 1 3 x - 4 3 - 2 3 x - 1 3

= - 5 9 x - 4 3 + 2 x - 1 3 = - 5 1 + 2 x 9   x 4 3 = 5 - 1 - 2 x 9   x 4 3

Nem precisamos do quadro de sinais, vendo que x 4 3 será sempre positivo, já que é uma raiz cúbica elevada a um expoente par, 4 no caso. Assim, a concavidade só depende de - 1 - 2 x , e será para cima para todo x < - 1 2 , para baixo para x > - 1 2 , sendo esse um ponto de inflexão.

Passo 4

Para as assíntotas, não acharemos nenhuma vertical, já que não existem descontinuidades, como o polinômio tem grau maior que 0 , os limites para x → ± ∞ também explodirão e não teremos assíntotas horizontais:

lim x → ∞ ⁡ x 2 3 5 2 - x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 5 2 - x = ∞

Procurando por assíntotas oblíquas teremos a mesma situação, já que o limite da definição do coeficiente angular da assíntota oblíqua também teria problema:

lim x → ∞ ⁡ x 2 3 5 2 - x x = lim x → ∞ ⁡ 5 2 x 1 3 - x 2 3 = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 5 2 - x x = lim x → - ∞ ⁡ 5 2 x 1 3 - x 2 3 = + ∞

Conclusão, nenhuma, assíntota.

Passo 5

Agora, juntando todas as informações, podemos esboçar o gráfico pedido:

Resposta

f i g u r a   a c i m a

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