Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f : I R → I R a função definida por f x = x 2 e - x .

(a) Encontre as assíntotas verticais e horizontais caso existam;

(b) Encontre os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente;

(c) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão

(e) Use as informações acima para fazer um esboço do gráfico de f

Passo 1

Essa é daquelas questões boazinhas que já nos dão o passo a passo. Então vamos começar com as assíntotas dessa função. Pras horizontais, temos que fazer:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e - x

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x

Então partiu. Para x → + ∞

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e - x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x = + ∞ + ∞

Eita! Indeterminação! E agora? Caalma gafanhoto, essa daí é do tipo que da pra resolver por L’Hospital. Então se derivarmos em cima e em baixo, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 ' e x ' = lim x → + ∞ ⁡ 2 x e x = + ∞ + ∞

Outra indeterminação! Bom, já que ela caiu numa do mesmo tipo da anterior, por que não realizar L’Hospital novamente? Fazendo LH então:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x e x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x ' e x ' = lim x → + ∞ ⁡ 2 e x = 2 + ∞ = 0

Show! Achamos uma assíntota horizontal: a reta y = 0 . Pra vermos se tem outra basta fazer agora:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x = lim x → - ∞ ⁡ x e x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 lim x → - ∞ ⁡ e x = + ∞ 0 + = + ∞

Dessa vez não rolou! O limite não deu um número então só vamos ter uma assíntota horizontal mesmo. Agora, pras verticais, dá uma boa olhada na função:

f x = x 2 e - x = x 2 e x

Po, se não tem nenhum valor de x que eu escolha que eu não consiga arranjar um f x de volta pra mim, então não temos candidatos a pontos que “dão problema” na função. Isso, na prática, é sinal de que não existem assíntotas verticais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pros intervalos de crescimento e decrescimento agora o bicho pega, porque precisamos derivar! Como nossa função pode ser entendida como um produto de duas funções, usando a regra do produto:

f ' x = x 2 e - x '

f ' x = x 2 ' e - x + x 2 e - x '

f ' x = 2 x e - x - x 2 e - x

f ' x = x e - x 2 - x

Pra gente ver intervalos de crescimento e decrescimento temos que analisar o sinal da primeira derivada. Se positiva, a função cresce, se negativa, decresce, tranquilo? E pra isso, vamos ver em que pontos que ela muda de sinal:

f ' x = x e - x 2 - x = 0

x e - x = 0               o u               2 - x = 0

x = 0               o u               x = 2

Então podemos testar o sinal da primeira derivada em intervalos que envolvam esses pontos. Eles vão ser:

- ∞ , 0

0,2

2 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = - 1 . Vamos ter:

f ' - 1 = - 1 e - - 1 2 - - 1 = - 3 e < 0

Pro segundo intervalo, podemos testar, por exemplo, x = 1 . Vamos ter:

f ' 1 = 1 e - 1 2 - 1 = 1 e > 0

Pro terceiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = 3 . Vamos ter:

f ' 3 = 3 e - 3 2 - 3 = - 3 e ³ < 0

Analisando esses resultados, concluímos que:

F u n ç ã o   c r e s c e   e m   0,2 F u n ç ã o   d e c r e s c e   e m   - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞

Como do primeiro pro segundo intervalo a função passa de decrescente pra crescente, então na fronteira desses intervalos, em x = 0 , temos um ponto de mínimo e como do segundo pro terceiro intervalo a função passa de crescente pra decrescente, então na fronteira desses intervalos, em x = 2 , temos um ponto de máximo. Bora pro próximo item agora!

Passo 3

Agora a gente vai partir pra análise da concavidade. A ideia é a mesma do passo anterior, só que agora com a segunda derivada da função. Então partiu derivar a primeira derivada! Vamos ter:

f ' ' x = 2 x e - x - x 2 e - x '

f ' ' x = 2 x e - x ' - x 2 e - x '

f ' ' x = 2 x e - x ' + 2 x ' e - x - x 2 e - x ' - x 2 ' e - x

E derivando cada um dos termos:

f ' ' x = - 2 x e - x + 2 e - x + x 2 e - x - 2 x e - x

f ' ' x = - 4 x e - x + 2 e - x + x 2 e - x

f ' ' x = e - x x ² - 4 x + 2

Pra gente ver os intervalos que a segunda derivada mudam de sinal a gente vê a fronteira desses intervalos primeiro. Pra isso, igualando a zero e fazendo Bháskara:

x 2 - 4 x + 2 = a x ² + b x + c = a x - x 1 x - x 2 = 0

Onde:

x 1,2 = - b ± b ² - 4 a c 2 a = 4 ± 16 - 8 2

x 1,2 = 4 ± 8 2 = 4 ± 2 2 2 = 2 ± 2

Os intervalos que vamos testar vão ser então:

- ∞ , 2 - 2

2 - 2 , 2 + 2

2 + 2 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = 0 . Vamos ter:

f ' ' 0 = e - 0 0 ² - 4 0 + 2 = 2 > 0

Pro segundo intervalo, podemos testar, por exemplo, x = 1 . Vamos ter:

f ' ' 1 = e - 1 1 ² - 4 1 + 2 = - 1 e < 0

Pro terceiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = 4 . Vamos ter:

f ' ' 4 = e - 4 4 ² - 4 4 + 2 = 2 e 4 > 0

Analisando esses resultados, como o sinal positivo indica concavidade pra cima e o negativo, concavidade pra baixo, concluímos que:

F u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   2 - 2 , 2 + 2 F u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   - ∞ , 2 - 2 ∪ 2 + 2 , + ∞

E os pontos de inflexão vão ser exatamente aqueles valores de x em que a concavidade muda, belezinha? Eles serão então:

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o = x = 2 - 2 x = 2 + 2

Passo 4

E agora a gente fecha com chave de ouro esboçando tudo. Nossos resultados, resumindo, foram:

lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x = + ∞

A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l   y = 0 S e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s

F u n ç ã o   c r e s c e   e m   0,2 F u n ç ã o   d e c r e s c e   e m   - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞

P o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l   e m   x = 0 P o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l   e m   x = 2

F u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   2 - 2 , 2 + 2 F u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   - ∞ , 2 - 2 ∪ 2 + 2 , + ∞

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o = x = 2 - 2 x = 2 + 2

Esboçamos então:

Resposta

A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l   y = 0 S e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s

F u n ç ã o   c r e s c e   e m   0,2 F u n ç ã o   d e c r e s c e   e m   - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞

P o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l   e m   x = 0 P o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l   e m   x = 2

F u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   2 - 2 , 2 + 2 F u n ç ã o   t e m   c o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   - ∞ , 2 - 2 ∪ 2 + 2 , + ∞

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o = x = 2 - 2 x = 2 + 2

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