Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Seja a função f definida por:

f x = x 2 e 4 - x

Obtenha, caso existam:

  1. As assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f .
  2. Os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente.
  3. Os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima, onde é côncavo para baixo e os pontos de inflexão.

Passo 1

Como sempre, obtemos as assíntotas horizontais da seguinte forma:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → ∞ ⁡ x 2 e 4 - x

Reescrevendo a função para observamos melhor seu comportamento (ou você poderia “substituir” o x , acho que ficaria claro):

lim x → ∞ ⁡ x 2 e 4 e - x = lim x → ∞ ⁡ x 2 e 4 e x

Portanto temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Derivando por L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ 2 x e 4 e x = lim x → ∞ ⁡ 2 e 4 e x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto uma assíntota horizontal é a x = 0 . Pelo outro lado teremos:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e 4 - x

O comportamento talvez não esteja claro neste caso. Vamos fazer a mesma manipulação que fizemos no passo anterior. Só que antes, pra simplificar, vamos fazer uma mudança de variáveis:

x = - v

Assim, o nosso limite fica:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e 4 e - x = lim v → ∞ ⁡ v 2 e 4 e v

Agora podemos resolver o limite. “Substituindo”, pra ver no que dá:

lim v → ∞ ⁡ v 2 e 4 e v → ∞ × ∞

Portanto:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e 4 - x = ∞

E essa outra assíntota horizontal não existe.

Passo 3

Investigando as verticais, nós percebemos que não há nenhum valor de x que force uma divisão por zero ou outra atrocidade algébrica que gere uma assíntota vertical. Portanto elas não existem para esta função.

Outra maneira de dizer isso é dizendo que f é contínua em ℝ.

Passo 4

Os intervalos onde f é crescente respeitam a seguinte relação:

f ' x > 0

E os intervalos em que f é decrescente respeitam:

f ' x < 0

Portanto, pela regra do produto:

f ' x = x 2 ' e 4 - x + x 2 e 4 - x '

f ' x = 2 x e 4 - x + x 2 e 4 - x 4 - x '

f ' x = 2 x e 4 - x - x 2 e 4 - x

Encontrando os intervalos em que f é crescente:

f ' x > 0 ⟹ 2 x e 4 - x - x 2 e 4 - x > 0

e 4 - x x 2 - x > 0

Como uma exponencial é sempre positiva e diferente de zero podemos corta-la:

x 2 - x > 0

Pela nossa análise da tabela de sinais, temos:

Portanto f é crescente no seguinte intervalo:

Crescente = ( 0 ,   2 )

E, como já concluímos toda a análise do sinal, podemos seguramente dizer que f é decrescente em:

Decrescente = ( - ∞ ,   0 ) ∪ ( 2 ,   ∞ )

Passo 5

A mesma lógica se segue para intervalos de concavidade. Pela regra do produto, temos:

f ' ' x = e 4 - x x 2 - 4 x + 2

Como temos que:

e 4 - x > 0

Para todo o x real, então esse termo não entra na nossa análise de sinais.

Analisamos então o sinal do polinômio x 2 - 4 x + 2 .

Pelo teorema fundamental da álgebra, achamos as raízes do polinômio para poder reescreve-lo:

x 2 - 4 x + 2 = 0

x = 2 ± 2

Portanto:

x 2 - 4 x + 2 = x - 2 + 2 x - 2 - 2

Pela análise da tabela de sinais:

Temos então que a função tem concavidade para cima em:

Cima = - ∞ , 2 - 2 ∪ 2 + 2 , ∞

E, analogamente, para baixo em:

Baixo = 2 - 2 , 2 + 2

Por consequência da nossa análise, sabemos que os pontos em que a derivada segunda zera (pontos de inflexão) são:

x = 2 ± 2

Portanto os pontos de inflexão são:

P 1 = 2 - 2 , 2 - 2 2 e 4 - 2 + 2

P 2 = 2 + 2 , 2 + 2 2 e 4 - 2 - 2

Passo 6

O esboço do gráfico é, portanto:

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas