Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f : ] 0 , + ∞ [ → I R uma função derivável tal que:

  1. f 3 = 2 e f 5 = - 3 ;
  2. As retas x = 0 e y = x são assíntotas para f ;
  3. f ' tem exatamente 4 raízes, e o gráfico de f ' no intervalo 1,6 está esboçado na figura abaixo

É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo ] 0 , + ∞ [ é

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Passo 1

Puts, um pouco enrolada essa questão. Muita coisa pra ver! Mas vamos com calma. Da esquerda pra direita, vamos analisar o que acontece, intervalo por intervalo:

Começando por 0,2 , nesse intervalo temos a assíntota vertical x = 0 e vemos que a derivada, conforme o gráfico acima, é sempre positiva. Se a derivada é positiva em um intervalo, então a função é crescente, né não?

Pô, então a função tem assíntota em x = 0 e não para de crescer até chegar em x = 2 . O único jeito disso acontecer é se:

lim x → 0 + ⁡ f x = - ∞

Uma coisa importante que a gente tem que pescar desse intervalo é que se a função vem lá do - ∞ sempre crescendo, temos duas opções só possíveis:

Ou seja, ou só temos uma única raiz, ou nenhuma. Só que se olharmos pro gráfico da derivada, vemos que em 2,3 a função é estritamente decrescente (derivada negativa). Como f 3 > 0 , o único jeito de a função sair de x = 2 descendo e alcançar f 3 = 2 > 0 é se f 2 > f 3 . E se é esse o caso, fechamos o primeiro dos nossos intervalos, pois como:

f 2 > 0

Pelo TVI existe somente uma raiz no intervalo 0,2 e o caso correto acima é o I . Show de bola! Ainda de quebra provamos que no próximo intervalo 2,3 não temos raízes. Afinal, se:

f 2 > f 3 > 0

Não vai existir nenhum c ∈ 2,3 que faça f c = 0

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Passo 2

Belezinha, vamos pro próximo intervalo, o intervalo 3,4 . Esse é até mais tranquilo, pois saímos de:

f 3 = 2 > 0

E seguimos crescendo e crescendo até chegar em x = 4 . Isso porque em 3,4 a função é estritamente crescente, evidenciado pelo fato que a primeira derivada é sempre positiva nesse intervalo. Sem raízes aqui também. Agora, vamos falar do intervalo 4,5 . Nota o seguinte, se em 3,4 a função é estritamente crescente, então:

f 4 > f 3 > 0

E como bem sabemos, do enunciado:

f 5 = - 3 < 0

Opa, então perai, tem raiz aí! Pelo TVI, se:

f 4 > 0

f 5 < 0

Então existe pelo menos um c ∈ 4,5 que faça f c = 0 . A gente consegue provar que esse c é único quando vemos que no intervalo 4,5 a função é estritamente decrescente (primeira derivada negativa)

Duas raízes até agora em! Será que tem mais?

Passo 3

Agora vamos pro último intervalo e depois partir pro abraço! Ele vai ser [ 5 , + ∞ [ . Nesse intervalo vemos que a função é estritamente crescente, afinal, a primeira derivada é negativa nesse intervalo. Opa, já que ela é estritamente crescente, e como sabemos que nesse intervalo ela sairá de debaixo do eixo x , já que f 5 = - 3 , temos três opções:

  1. A função sai lá do seu valor negativo e cresce infinitamente, passando obrigatoriamente uma única vez só pelo eixo x
  2. A função sai lá do seu valor negativo e cresce até um certo ponto, chegando num limite finito e positivo, o que faz com que a função passe obrigatoriamente uma única vez só pelo eixo x
  3. A função sai lá do seu valor negativo e cresce até um certo ponto, chegando num limite finito e negativo, o que faz com que a função não toque nunca mais no eixo x

Em matematiquês, isso é o mesmo que dizer que:

  1. A função possui assíntota pra x → + ∞
  2. A função possui assíntota horizontal positiva para x → + ∞
  3. A função possui assíntota horizontal negativa para x → + ∞

E olha só, como o enunciado diz que y = x é uma assíntota, o primeiro caso é verdade! Graficamente é como se tivéssemos algo do tipo:

Então mais uma vez o gráfico de f x corta o eixo x ! Como essa é nossa terceira raiz, fechamos a questão com chave de ouro se marcarmos a letra D !

Resposta

L e t r a   D

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