Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f : ] 0 , + ∞ [ → I R uma função derivável tal que:

  1. f 3 = - 2 ;
  2. As retas x = 0 e y = x são assíntotas para f ;
  3. f ' tem exatamente 3 raízes, e o gráfico de f ' no intervalo 1,5 está esboçado na figura abaixo

É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo ] 0 , + ∞ [ é

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Passo 1

Puts, um pouco enrolada essa questão. Muita coisa pra ver! Mas vamos com calma. Da esquerda pra direita, vamos analisar o que acontece, intervalo por intervalo:

Começando por 0,2 , nesse intervalo temos a assíntota vertical x = 0 e vemos que a derivada, conforme o gráfico acima, é sempre negativa. Se a derivada é negativa em um intervalo, então a função é decrescente, né não?

Pô, então a função tem assíntota em x = 0 e não para de descer até chegar em x = 2 . O único jeito disso acontecer é se:

lim x → 0 + ⁡ f x = + ∞

Uma coisa importante que a gente tem que pescar desse intervalo é que se a função vem lá do + ∞ sempre decrescendo, temos duas opções só possíveis:

Ou seja, ou só temos uma única raiz, ou nenhuma. Só que se olharmos pro gráfico da derivada, vemos que em 2,3 a função é estritamente crescente (derivada positiva). Como f 3 < 0 , o único jeito de a função sair de x = 2 subindo e alcançar f 3 = - 2 < 0 é se f 2 < f 3 . E se é esse o caso, fechamos o primeiro dos nossos intervalos, pois como:

f 2 < 0

Pelo TVI existe somente uma raiz no intervalo 0,2 e o caso correto acima é o I I . Show de bola! Ainda de quebra provamos que no próximo intervalo 2,3 não temos raízes. Afinal, se:

f 2 < f 3 < 0

Não vai existir nenhum c ∈ 2,3 que faça f c = 0

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Passo 2

Belezinha, vamos pro próximo intervalo, o intervalo 3,4 . Esse é até mais tranquilo, pois saímos de:

f 3 = - 2 < 0

E seguimos descendo e descendo até chegar em x = 4 . Isso porque em 3,4 a função é estritamente decrescente, evidenciado pelo fato que a primeira derivada é sempre negativa nesse intervalo. Sem raízes aqui também.

Agora vamos pro último intervalo e depois partir pro abraço! Ele vai ser [ 4 , + ∞ [ . Nesse intervalo vemos que a função é estritamente crescente, afinal, a primeira derivada é positiva nesse intervalo. Opa, já que ela é estritamente crescente, e como sabemos que nesse intervalo ela sairá de baixo do eixo x , já que f 4 < f 3 < 0 , temos três opções:

  1. A função sai lá do seu valor negativo e sobe infinitamente, passando obrigatoriamente uma única vez só pelo eixo x
  2. A função sai lá do seu valor negativo e sobe até um certo ponto, chegando num limite finito e positivo, o que faz com que a função passe obrigatoriamente uma única vez só pelo eixo x
  3. A função sai lá do seu valor negativo e sobe até um certo ponto, chegando num limite finito e negativo, o que faz com que a função não toque nunca mais no eixo x

Em matematiquês, isso é o mesmo que dizer que:

  1. A função possui assíntota pra x → + ∞
  2. A função possui assíntota horizontal positiva para x → + ∞
  3. A função possui assíntota horizontal negativa para x → + ∞

E olha só, como o enunciado diz que y = x é uma assíntota, o primeiro caso é verdade! Graficamente é como se tivéssemos algo do tipo:

Então mais uma vez o gráfico de f x corta o eixo x ! Como essa é nossa segunda raiz, fechamos a questão com chave de ouro se marcarmos a letra C !

Resposta

L e t r a   C

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