2) Seja f : I R - 0 → I R uma função duas vezes diferenciável em seu domínio tal que:

  1. Faça um esboço do gráfico de f , indicando claramente as regiões de crescimento e decrescimento, os pontos extremos relativos, os pontos extremos absolutos, assíntotas, concavidade do gráfico e pontos de inflexão.
  2. A função f tem quantas raízes em - ∞ , 0 ? E em ( 0,2 ] ? (Se não houver informação suficiente para se determinar a quantidade exata de raízes, indique quais são as quantidades possíveis). Justifique.

Passo 1

Essa questão tem uma parte boa e outra ruim. A boa é que não precisamos fazer nenhuma conta pro esboço. A ruim, é que temos que interpretar com muito cuidado tudo que nos foi dado. Vamos começar olhando pros limites:

Como limites pros infinitos são o artíficio que usamos pra achar assíntotas horizontais, vamos ter assíntota horizontal só quando esses limites derem números. Nesse caso, um deles deu! Então nosso esboço, por enquanto, fica:

Agora, os limites laterais que fazemos pra determinado valor de x são os artifícios que usamos pra encontrar assíntotas verticais. Se fizermos os limites laterais e pelo menos um deles explodir pra algum infinito, o valor de x que escolhemos é uma assíntota sim! E nesse caso, os dois explodem! Então x = 0 é uma assíntota vertical! Nosso esboço fica:

Na real por enquanto só fizemos as assíntotas. Deixamos os limites escritos só pra indicar pra onde a função vai quando tivermos desenhando ela.

Passo 2

Show, vamos olhar pra todas as partes que envolvam pontos:

Pô, bora então marcar esses pontos no nosso esboço!

Beleza. Por enquanto não temos mais informações que deêm pra gente escrever diretamente no nosso esboço. Mas a gente pode olhar pra essas linhas aqui ó:

Como elas nos ajudam? Saca só, esses são os pontos que zeram a primeira e a segunda derivada, representando então as fronteiras de mudança sinal. Pras primeiras derivadas, - 1 e 1 são fronteiras de intervalos de crescimento e descrescimento da função! Pras segundas derivadas, - 2 e 2 são fronteiras de intervalos de concavidade pra cima e pra baixo da função (pontos de inflexão)!

Note ainda que sabemos que x = 0 é uma assíntota vertical! Vamos então montar um quadrinho com esses 5 pontos, seguindo esse estilo:

Onde:

Representa o resultado dos limites pros infinitos, ou seja, a existência ou não de assíntotas horizontais e

Representa o resultado dos limites laterais feitos no passo anterior, mostrando que nessa tabela x = 0 é tratado como assíntota, em que a função vai pra + ∞ pra valores a esquerda de 0 e sai do - ∞ pra valores a direita de 0 . Com essa tabelinha, conseguimos analisar crescimento/decrescimento e concavidade da função em todos os 6 intervalos mais importantes pra essa função, que são:

- ∞ , - 2

- 2 , - 1

- 1,0

0,1

1,2

2 , + ∞

E pra demarcar bem esses intervalos no esboço, podemos desenhar assim:

Passo 3

Agora, pra preenchermos a tabela, tudo que precisamos é analisar bem essas linhas:

Pra primeira coluna, que fala só das primeiras derivadas, temos função crescente (primeira derivada positiva) nos intervalos - 1,0 e 0,1 , então marcamos na nossa tabela:

E temos função decrescente (primeira derivada negativa) no intervalo ( - ∞ , - 1 ) , que é a união dos intervalos - ∞ , - 2 e - 2 , - 1 , e no intervalo 1 , + ∞ , que é a união dos intervalos   1,2 e 2 , + ∞ . Marcamos na nossa tabelinha:

Agora, pra segunda derivada, temos que a concavidade é pra cima (segunda derivada positiva) em - 2,0 , que é a união dos intervalos - 2 , - 1 e - 1,0 , e também no intervalo 2 , + ∞ . Marcamos na tabelinha:

E a concavidade será pra baixo (segunda derivada negativa) nos intervalos - ∞ , - 2 e 0,2 , que é a união dos intervalos 0,1 e 1,2 , fazendo a gente fechar nossa tabela:

Passo 4

Agora é hora de por a mão na massa, vamos esboçar essa função usando a tabela:

Em - ∞ , - 2 , a função vai decrescer com a concavidade pra baixo vindo do + ∞ . Um esboço bom desse pedaço seria:

Em - 2,1 , a função vai decrescer com a concavidade pra cima e vai tocar no ponto A . Um esboço bom desse pedaço seria:

Em - 1,0 , a função vai crescer com a concavidade pra cima e vai até o + ∞ . Um esboço bom desse pedaço seria:

Em 0,1 , a função vai crescer com a concavidade pra baixo, saindo do - ∞ e tocando no ponto B . Um esboço bom desse pedaço seria:

Em 1,2 , a função vai decrescer com a concavidade pra baixo. Um esboço bom desse pedaço seria:

E pra fechar, em 2 ,   + ∞ , a função vai decrescer com a concavidade pra cima, tendendo a y = - 1 . Um esboço bom desse pedaço seria:

E taí! Esboço terminado!

Passo 5

Pra fechar com chave de ouro a gente precisa responder a letra b , que nos pergunta: A função f tem quantas raízes em - ∞ , 0 ? E em ( 0,2 ] ?

Bem, pro primeiro intervalo, a resposta é exatamente duas raízes, pois a função vem de + ∞ , passa por um ponto localizado abaixo do eixo O x e volta pro + ∞ quando x → 0 - . Pra isso ser possível a curva da função deve, obrigatoriamente, tocar duas vezes no eixo O x , marcando duas raízes.

A gente pode seguir a mesma lógica pro intervalo 0 , + ∞ , obrigatoriamente temos duas raízes! E a localização de uma também é fixa, pois em 0,1 a função vai de - ∞ até um ponto acima do eixo O x , tendo que cortar ele necessariamente uma vez. Agora, a segunda raiz pode estar localizada tanto em 1,2 quanto em ( 2 , + ∞ ) , sendo impossível afirmar onde ela está com as informações que temos. Então em ( 0,2 ] temos obrigatoriamente uma raiz, mas com a possibilidade de haverem duas.

Graficamente, o caso em que temos a segunda raiz de 0 , + ∞ dentro de ( 2 , + ∞ ) é exatamente idêntico ao esboço que já fizemos:

O outro caso, em que a segunda raiz de de 0 , + ∞ está dentro de ( 1,2 ) , seria como se tivéssemos:

Note que esse esboço diferente não tá errado em relação a tudo que vimos nos outros passos :D

Resposta

  1. Justificativas no Passo 5. Em - ∞ , 0 temos obrigatoriamente duas raízes. Em ( 0,2 ] temos obrigatoriamente uma raiz, mas podemos ter uma segunda. A localização da seguda raiz como dentro ou fora deste intervalo depende de informações sobre f que não possuímos.

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = s e n x
Trace o gráfico da função f x = { x 2,- 1 ≤ x0 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 f é contínua em x=0 ? f é derivável em x=0 ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2