Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Seja f x = x 2 e x :

( a ) Mostre que f ' x = e x ( x 2 + 2 x ) e que f ' ' x = e x ( x 2 + 4 x + 2 ) .

( b ) Encontre o domínio de f ( x ) .

( c ) Encontre os interceptos de f ( x ) com os eixos coordenados.

( d ) Analise a simetria de f ( x ) .

( e ) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .

( f ) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo/mínimo.

( g ) Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.

( h ) Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

( a ) Vamos derivar, usando a Regra do Produto:

f ' x = x 2 ' e x + x 2 e x ' = 2 x e x + x 2 e x

f ' x = e x ( x 2 + 2 x )

Agora a derivada segunda, novamente pela Regra do Produto:

f ' ' x = x 2 + 2 x ' e x + x 2 + 2 x e x ' = 2 x + 2 e x + x 2 + 2 x e x

f ' ' x = e x x 2 + 4 x + 2

Pronto, demonstração feita.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Como os termos x 2 e e x não tem descontinuidades, o domínio é R .

Passo 3

( c ) Para achar os interceptos temos que fazer x = 0 e y = 0 :

x = 0 → f 0 = 0 2 e 0 = 0 1 = 0

y = 0 → 0 = x 2 e x → x = 0

Só encontramos um ponto, ou seja, ele corta a origem que é o encontro dos eixos.

Passo 4

( d ) Como x 2 e x é um produto entre uma função par ( x 2 ) e uma sem simetria nenhuma ( e x ) concluímos que não terá simetria par ou ímpar.

Passo 5

( e ) Como não temos descontinuidade no domínio, concluímos que não existem assíntotas verticais. Quanto às assíntotas horizontais, vamos usar o limite quando x → ± ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x = ( ∞ ) ( ∞ )

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x = ∞ 0

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x → L ' H lim x → - ∞ ⁡ - 2 x e - x = - - ∞ ∞

lim x → - ∞ ⁡ - 2 x e - x → L ' H lim x → - ∞ ⁡ 2 e - x = 2 ∞ = 0

Concluímos, pelos limites, que existe uma assíntota horizontal em y = 0 quando x → - ∞ .

Passo 6

( f ) Para analisar o crescimento da função temos que observar quando a função é positiva ou negativa. A função derivada é f x = x 2 + 2 x e x , onde e x é sempre positivo. Assim, o sinal só depende da parábola:

x 2 + 2 x = x ( x + 2 )

Como vemos, é uma parábola com concavidade para cima e raízes em 0 e - 2 . Notamos, com isso, que f ' ( x ) só será negativo entre - 2 e 0 , sendo positiva no resto do domínio.

x = - 2 é um ponto crítico de máximo, já que a derivada é positiva antes dele e negativa depois.

x = 0 é um ponto crítico de mínimo, já que a derivada é positiva antes dele e negativa depois.

A função é crescente para todo x fora do intervalo [ - 2,0 ] , onde é decrescente.

Passo 7

( g ) A derivada segunda de f ( x ) é f ' ' x = e x x 2 + 4 x + 2

Sendo que e x é sempre positivo. Assim, o sinal só depende de ( x 2 + 4 x + 2 ) , uma parábola com a concavidade para cima e raízes, por Bhaskara, em:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 16 - 8 2

= - 2 ± 2

Assim, vemos que a f ' ' x será negativa e a concavidade será para baixo quando x estiver entre - 2 - 2 e - 2 + 2 . No resto do domínio, a concavidade é para cima.

x = - 2 - 2 e x = - 2 + 2 são pontos de inflexão.

Passo 8

( h ) Juntando as informações: - D o m = R

- I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

- N ã o   h á   n e n h u m a   s i m e t r i a

-   A s s í n t o t a   e m   y = 0   q u a n d o   x → - ∞

- f x é   d e c r e s c e n t e   e m   - 2,0 e   d e c r e s c e n t e   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o ,  

c o m   f - 2 = 4 e - 2   e   f 0 = 0

- x = - 2 é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l ; x = 0 é   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

- f ( x )   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   ] - ∞ , - 2 - 2 ] ∪ [ - 2 + 2 , + ∞ [ ;

  p a r a   b a i x o   e m   ] - 2 - 2 , - 2 + 2 ]

Esboçando, fica assim:

Resposta

a     f ' x = e x x 2 + 2 x ; f ' ' x = e x ( x 2 + 4 x + 2 )

b   D o m = R

c     I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   n a   o r i g e m   ( 0,0 )

d   N ã o   h á   s i m e t r i a

e   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l   e m   y = 0 ; n ã o   h á   a s s í n t o t a   v e r t i c a l

( f )     A   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x   f o r a   d o   i n t e r v a l o   [ - 2,0 ] ,   o n d e   é   d e c r e s c e n t e

g   a   c o n c a v i d a d e   s e r á   p a r a   b a i x o   q u a n d o   x   e s t i v e r   e n t r e  

- 2 - 2 e   - 2 + 2 .   N o   r e s t o   d o   d o m í n i o ,   a   c o n c a v i d a d e   é   p a r a   c i m a .

x = - 2 - √ 2   e   x = - 2 + √ 2   s ã o   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o .

h   ( f i g u r a   a c i m a )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas