Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Seja

f x = 6 - 6 x x 2

Pede-se:

( a ) D f .

( b ) Intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais.

( c ) Concavidade e pontos de inflexão.

( d ) Assíntotas.

( e ) Esboço do gráfico.

( f ) Imagem de f .

Passo 1

( a ) Esse D f , caso você não conheça a notação, é uma forma escrota de te pedir que derive f ( x ) . Vamos fazer isso então:

f ' x = 6 - 6 x ' x 2 - 6 - 6 x x 2 ' x 2 2

= - 6 x 2 - 6 - 6 x 2 x x 4

= - 6 x 2 - 12 x + 12 x 2 x 4

= 6 x - 2 x 3

Essa é a nossa f ' ( x ) , acabou letra ( a ) .

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Passo 2

( b ) Nós temos, a partir da letra ( a ) que f ' x vale:

f ' x = 6 x - 2 x 3

Assim, se analisamos o crescimento ou decrescimento de f ( x ) , devemos observar o sinal de f ' x . Vamos fazer aquele quadro esperto dos sinais:

A gente percebe que a região de decrescimento é ] 0,2 ] e de crescimento corresponde ao resto do domínio, ou seja, ] - ∞ , 0 [   ∪ [ 2 , + ∞ [ . Além disso temos que em x = 2 f ' x = 0 , o que corresponde a um ponto crítico. Como a derivada é negativa antes e positiva depois esse é um ponto de mínimo local!

Passo 3

( c ) Para pensar em concavidade temos que fazer a derivada segunda desse cara aí. O que já temos é:

f ' x = 6 x - 2 x 3

Agora vamos derivar de novo.

f ' ' x = 6 x - 2 ' x 3 - 6 x - 2 x 3 ' x 3 2

= 6 x 3 - 6 x - 2 3 x 2 x 6

= 6 x 3 - 18 x 3 + 36 x 2 x 6

f ' ( x ) = 12 3 - x x 4

Passo 4

( d ) A gente repara que, como o denominador desse termo está elevado a um grau par, ele vai ser sempre positivo. Dessa maneira, o sinal só depende de ( 3 - x ) . Podemos concluir que quando x > 3 a f ' ' ( x ) é negativa e sua concavidade é para baixo. Da mesma forma, quando x < 3 temos f ' ' ( x ) positiva e concavidade para cima. O ponto onde muda essa concavidade é x = 3 onde temos um ponto de inflexão f ' ' x = 0 .

Passo 5

( e ) Vamos lançar a assíntota nos limites do domínio. O domínio de f ( x ) por só haver uma restrição d e n o m i n a d o r ≠ 0 → x ≠ 0 fica assim:

D o m :   R - { 0 }

Assim, o domínio não tem um limite específico. Vamos observar então o limite de f ( x ) quando x → ± ∞ para assíntotas horizontais e o ponto da descontinuidade x = 0 para a assíntota vertical.

Passo 6

lim x → + ∞ ⁡ 6 - 6 x x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 6 x - 6 x

= 0

lim x → - ∞ ⁡ 6 - 6 x x 2

= lim x → - ∞ ⁡ 6 x - 6 x

= 0

Assim, tanto para + ∞ quanto para - ∞ temos uma mesma assíntota horizontal: y = 0 .

Já na descontinuidade x = 0 temos uma assíntota vertical!

lim x → 0 + ⁡ 6 - 6 x x 2 = lim x → 0 - ⁡ 6 - 6 x x 2 = + ∞

Passo 7

( e ) É bom relembrarmos do que achamos nas outras letras:

f ' x = 6 - 6 x ' x 2 - 6 - 6 x x 2 ' x 2 2

f ' x = 6 x - 2 x 3

f x   c r e s c e :   ] - ∞ , 0 [   ∪ [ 2 , + ∞ [

f x   d e c r e s c e :   ] 0,2 ]

x = 2   é   m í n i m o   l o c a l

Passo 8

f ' ' x = 6 x - 2 ' x 3 - 6 x - 2 x 3 ' x 3 2

f ' ( x ) = 12 3 - x x 4

O sinal só depende de ( 3 - x ) . Podemos concluir:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : x < 3

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o : x > 3

P o n t o   d e   i n f l e x ã o : x = 3

Passo 9

lim x → + ∞ ⁡ 6 - 6 x x 2 = 0   ;   lim x → - ∞ ⁡ 6 - 6 x x 2 = 0

lim x → 0 + ⁡ 6 - 6 x x 2 = lim x → 0 - ⁡ 6 - 6 x x 2 = + ∞

Assim, tanto para + ∞ quanto para - ∞ temos uma mesma assíntota horizontal: y = 0 .

Já na descontinuidade x = 0 temos uma assíntota vertical!

A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l : y = 0

A s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = 0

Passo 10

Agora o gráfico, sabendo que f 2 = - 3 2 e f 3 = - 4 3 , fica assim:

Passo 11

( f ) Pelo gráfico, notamos que x = 2 é mínimo global, o que faz com que a imagem de f seja:

[ f 2 , + ∞ [

[ - 3 2 , + ∞ [

Resposta

a   f ' x = 6 x - 2 x 3

b   f x   c r e s c e :   ] - ∞ , 0 [   ∪ [ 2 , + ∞ [

f x   d e c r e s c e :   ] 0,2 ]

x = 2   é   m í n i m o   l o c a l

c   C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : x < 3

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o : x > 3

P o n t o   d e   i n f l e x ã o : x = 3

d   A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l : y = 0

A s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = 0

e   ( f i g u r a   a c i m a )

f [ - 3 2 , + ∞ [

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