Suponha que o número de milhares de pessoas infectadas por um vírus seja modelado pela função N t = - 2 t 3 + a t 2 + b t + c , em que a , b   e c são constantes e o tempo t é medido em anos. Suponha ainda que, no instante t = 0 , nove mil pessoas estavam infectadas, uns anos depois esse número atingiu um valor mínimo e, em seguida, cresceu até atingir um valor máximo para t = 2 .

a ) Determine as constantes a , b e c a partir das informações dadas.

b ) Determine o número de pessoas infectadas 1,2   e   3   anos depois do instante t = 0 .

c ) Determine a concavidade de N ( t ) e, em seguida, esboce o seu gráfico para t ∈ 0,3 .

Passo 1

Olá galerinha do Responde Aí, está tudo ok?

Analisando a questão nós temos um probleminha de uma função N ( t ) que descreve a quantidade de pessoas contaminadas por um vírus, estilo aquelas curvas de covid, em função de um único parâmetro que é o tempo, logo podemos falar que é um probleminha de cálculo 1 .

Além disso, o enunciado faz diversas suposições e algumas delas são sobre os máximos e mínimos da função, isso indica que existe alguma relação com derivadas.

Devido a isso podemos entender que vamos resolver um probleminha de cálculo 1 , para ser mais preciso, vamos utilizar diversos conceitos de derivadas aplicados a máximos e mínimos de função.

Mas vamos ver quais conceitos vamos utilizar? Você lembra?

Não fique triste, vamos revê-los agora mesmo.

Os conceitos que vamos utilizar são os conceitos de máximos e mínimos e de quebra o de concavidade para a última alternativa.

Para nossa sorte, todos esses conceitos estão relacionados com derivadas, e o que nosso livrinho de cálculo nos informa é que:

f ' x 0 = 0 → x 0   é   u m   p o n t o   c r í t i c o

Além disso temos que:

f ' ' x 0 >   0 ,   x 0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' x 0 < 0   ,   x 0 é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o  

E para finalizar os conceitos que vamos utilizar temos que:

f ' ' x > 0     ∀ x ,   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0   ∀ x ,   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Agora que sabemos disso, só precisamos resolver a questão, e ae bora colocar as mãos na massa?

AHHHHHHHHH, vamos utilizar essa regrinha aqui de derivação tá?

d f d x = d d x x a = a * x a - 1

Agora sim, vamos lá.

Passo 2

Vamos começar respondendo a letra a ) para respondê-la, vamos precisar das seguintes afirmações do enunciado:

“no instante t = 0 , nove mil pessoas estavam infectadas, um ano depois esse número atingiu um valor mínimo e, em seguida, cresceu até atingir um valor máximo para t = 2 .”

A primeira informação é que quando t = 0 temos que,   N 0 = 9000 .

Colocando essa informação na questão temos que:

N 0 = 9000 = - 2 * 0 3 + a * 0 2 + b * 0 + c = c

Logo, temos que:

c = 9000 .

Já as demais informações têm relação com valores máximos e mínimos da função, para isso vamos precisar da primeira e da segunda derivada da função, belezinha?

Calculando a primeira derivada:

d N t d t = d - 2 t 3 + a t 2 + b t + c d t = - 2 * 3   t 2 + 2 a t + b

E para confirmar se é um ponto de máximo ou de mínimo iremos precisar da segunda derivada, logo:

N ' ' t = d d x d d x N t

= d d x - 6 t 2 + 2 a t + b = - 12 t + 2 a

Passo 3

Agora vamos aplicar as equações no nosso probleminha, a segunda informação é que “um ano depois esse número atingiu um valor mínimo”. Aplicando isso nas nossas derivadas, vamos utilizar as seguintes condições:

N ' 1 = 0   e   N ' ' 1 > 0

Logo, temos as seguintes equações:

N ' t 0 = - 6 * 1 2 + 2 a ⋅ 1 + b = 0

N ' ' 1 t 0 = - 12 * 1 + 2 a > 0

Já a terceira informação, temos que “cresceu até atingir um valor máximo para t = 2 ” aplicando as seguintes condições de máximo, só que para t 0 = 2 .

N ' 2 = 0   e   N ' ' 2 < 0  

geramos as seguintes igualdades:

N ' 2 = - 6 * 2 2 + 2 a ⋅ 2 + b

= - 24 + 4 a + b = 0

N ' ' 2 = - 24 + 2 a < 0

Passo 4

Vamos resolver o seguinte sistema de equações:

- 6 + 2 a + b = 0

- 12 + 2 a > 0

- 24 + 4 a + b = 0

- 24 + 2 a < 0

Logo analisando as inequações, temos que:

- 12 + 2 a > 0

- 24 + 2 a < 0

Logo temos que:

a > 6   e   a < 12

Sendo assim:

6 < a < 12

Analisando as demais equações:

- 24 + 4 a + b = 0

- 6 + 2 a + b = 0

Sendo assim, temos o seguinte sistema de equações:

4 a + b = 24

2 a + b = 6

Cuja as soluções são

a = 9 ,   b = - 12

E percebendo que a = 9 cai certinho no seguinte intervalo 6 < a < 12 .

Passo 5

b)

A nossa função se torna:

N t = - 2 t 3 + a t 2 + b t + c = - 2 t 3 + 9 t - 12 t + 9000

Agora podemos responder a letra b ) que é calcular os seguintes valores.

N 1 = - 2 + 9 - 12 + 9000 = 8995

N 2 = - 2 * 2 3 + 9 * 2 2 - 12 * 2 + 9000 = 8996

N 3 = - 2 * 3 3 + 9 * 3 2 - 12 * 3 + 9000 = 8991

Passo 6

Para responder a letra c ) precisamos identificar onde a função terá concavidade para cima, e onde ela estará para baixo. Mas, lembra do que vimos no passo 1 ?

A concavidade da função é determinada pelo sinal da segunda derivada. Assim, vamos utilizar a segunda derivada de N ( t ) que é:

N ' ' t = - 2 t + 2 a

Analisando os extremos do domínio:

N ' ' 0 = 2 a = 18

N ' ' 3 = - 2 * 3 + 2 a = 12

como temos N ' ' t > 0   , a função é côncava para cima, sendo assim a função deve ser algo dessa forma:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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