Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula é

m = m 0 1 - v 2 / c 2

Em que m 0 é a massa de repouso da partícula, m é a massa quando a partícula se move com velocidade v em relação ao observador e c é a velocidade da luz. Esboce o gráfico de m como uma função v .

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em esboçar o gráfico da variação da massa de uma partícula em função da sua velocidade. Para isso iremos utilizar os conceitos de assíntotas, máximo e mínimo local, ponto de inflexão, crescimento e decrescimento e concavidade.

Passo 2

Primeiramente iremos encontrar a interseção de m com os eixos. A interseção com o eixo vertical é

f 0 = m 0

Não há interseção com o eixo horizontal v . Dessa forma, podemos encontrar as assíntotas resolvendo o seguinte limite

lim v → c - ⁡ m 0 1 - v 2 / c 2 = ∞

Dessa forma, em v = c temos uma assíntota vertical.

Passo 3

Derivando nossa função em relação a v , temos

f ' v = 1 2 m 0 1 - v 2 / c 2 - 3 2 - 2 v / c 2 = m 0 c v ( c 2 - v 2 ) 3 2

Como f ' v > 0 , então f ( v ) está crescendo em ( 0 ,   c ) . Não existem pontos de máximo nem mínimo locais.

Derivando f ' ( v ) , temos

f ' ' v = m 0 c ( c 2 + 2 v 2 ) ( c 2 - v 2 ) 5 2

Como f ' ' v > 0 , então f ( v ) possui concavidade para cima em ( 0 ,   c ) . Não existem pontos de inflexão na função.

Resposta

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