Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x 3 + 6 x 2 + 9 x

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Precisamos achar a primeira e segunda derivada para analisar crescimento e concavidade, procurar as interseções com eixos, etc...

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim, y = 0 . Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

x 3 + 6 x 2 + 9 x = 0

x   x 2 + 6 x + 9 = 0

x   x + 3 2 = 0

As raízes da função são x = 0 e x = - 3 . Assim, as interseções com os eixos ocorrerão em ( 0,0 ) e ( - 3,0 ) .

Passo 4

Note que y tem expoentes pares e ímpares de x , assim ela não é nem par nem ímpar. A função não tem nenhum tipo de simetria.

Passo 5

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 6 x 2 + 9 x = - ∞

lim x → ∞ ⁡ x 3 + 6 x 2 + 9 x = + ∞

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y ' = 3 x 2 + 12 x + 9

y ' = 3   x 2 + 4 x + 3

y ' = 3   x + 1 ( x + 3 )

*Para obtermos x 2 + 4 x + 3 = x + 1 ( x + 3 ) , basta resolver a equação x 2 + 4 x + 3 = 0 . As raízes da equação são - 1 e - 3 , de modo que x 2 + 4 x + 3 = x - - 1 x - - 3 .

Desta forma,

Assim, x = - 3 é ponto de máximo local e x = - 1 é ponto de mínimo local. Note que f - 3 = 0 e f - 1 = - 4 .

Mínimo local: ( - 1 , - 4 ) ; máximo local: ( - 3,0 ) .

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y ' ' = 6 x + 12 = 6   ( x + 2 )

Assim,

Como f - 2 = - 2 , o ponto ( - 2 , - 2 ) é um ponto de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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