Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = ln ⁡ ( 1 + x 2 )

Passo 1

Boa galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em 1 + x 2 > 0 . Solucionando a equação de segundo grau, podemos ver que nosso domínio é 1 , + ∞ .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = ln ⁡ 1 . Nossa função intercepta o eixo x em f x = 0 .

ln ⁡ ( x 2 + 1 ) = 0

x 2 + 1 = e 0

Solucionando a equação, temos

x = 0

Dessa forma, nossa função intercepta o eixo x em x = 0

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x → ± ∞ o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

lim x → 1 - f ( x ) = ⁡ - ∞

Dessa forma, em x = 1 temos uma assíntota vertical.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = 2 x 1 + x 2

f ' x > 0   para x > 2 e f ' x < 0 para x < 1 . Assim, nossa função está crescendo em ( 2 ,   ∞ ) e decrescendo em ( - ∞ ,   1 ) .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função não possui pontos críticos, portanto, não possui valores de máximo e mínimo.

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = 2 x 2 - 3 x + 2 - ( 2 x - 3 ) 2 x - 3 x 2 - 3 x + 2 2 = - 2 x 2 + 6 x - 5 x 2 - 3 x + 2 2

Para todos os valores de x o numerador é negativo e o denominador positivo, assim

Concavidade para baixo em - ∞ ,   1 ∪ ( 2 ,   ∞ ) .

Isso ocorre pois f ' ' ( x ) é sempre negativa.

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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