3) Use o roteiro feito em aula para esboçar a curva f x = x 3 + 6 x 2 + 9 x . Indique todos os passos do roteiro, isto será tomado em conta na avaliação.

Passo 1

Saaalve, turma! Tudo certo com vocês? Estou feliz em resolver mais uma questão. Vamos pra cima!

Para começarmos a traçar o gráfico, vamos encontrar as raízes (pontos que cortam ou tocam o eixo). Para isso, vamos igualar a função a 0 :

x 3 + 6 x 2 + 9 x = 0

x x 2 + 6 x + 9 = 0

x = 0 é uma solução!

x 2 + 6 x + 9 = 0

x = - 3 é a única raiz real.

Portanto o gráfico tem x = 0 e x = - 3 como raízes.

Passo 2

Agora, encontraremos o ponto de inflexão desse gráfico. Esse é o ponto que muda a concavidade (tendência) da função.

Para isso, calcularemos a segunda derivada de f ( x ) e igualaremos a zero.

Primeira derivada:

f ' x = 3 x 2 + 12 x + 9

Segunda derivada:

f ' ' x = 6 x + 12

Igualando a zero:

6 x + 6 = 0

6 x = - 12

x = - 2

Aplicando na função original:

f - 2 = - 2 3 + 6 - 2 2 + 9 ( - 2 )

f - 2 = - 8 + 24 - 18

f - 2 = - 2

Passo 3

Os últimos valores que precisamos encontrar são os máximos e mínimos locais. Eles são os “limites” do eixo y após a inflexão.

Para isso, faremos a primeira derivada e igualaremos a zero.

Como já conhecemos a primeira derivada;

3 x 2 + 12 x + 9 = 0

Então:

x = - 1 e x = - 3

Aplicando em f ( x ) :

f - 1 = - 1 3 + 6 - 1 2 + 9 ( - 1 )

f - 1 = - 1 + 6 - 9

f - 1 = - 4

f - 3 = - 3 3 + 6 - 3 2 + 9 ( - 3 )

f - 3 = - 27 + 54 - 27

f - 3 = 0

Passo 4

Conhecendo todos esses pontos, fica fácil traçar o gráfico, não é?

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta no desenvolvimento do exercício.

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