Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x 3 x - 2

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D   de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2

Assim, temos que:

D = x ∈ I R x ≠ 2 }

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f 0 = 0

0 = x 3 x - 2 ⇒ x = 0      

Logo a função passa pela origem.

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f - x = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x ≥ 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f - x = - f x para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x ≥ 0   em 180   g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f x + p = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando x = 1 ,   temos:

  1. f - 1 = f 1 ⇒ ( - 1 ) 3 - 1 - 2 = 1 3 1 - 2 ⇒ 1 3 ≠ - 1
  2. f - 1 = - f 1 ⇒ - 1 3 - 1 - 2 =   - 1 3 1 - 2 ⇒ 1 3 ≠ 1
  3. Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se lim x → ∞ ⁡ f x = L     e lim x → - ∞ ⁡ f x = L ,   então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que lim x → ∞ ⁡ f x = ∞   ( o u - ∞ ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

lim x → a + ⁡ f x = ∞                                                         lim x → a - ⁡ f x = ∞

lim x → a + ⁡ f x =   - ∞                                                   lim x → a - ⁡ f x =   - ∞

Temos:

lim x → ∞ ⁡ x 3 x - 2 = lim x → . ∞ ⁡ x 3 x 3 1 x 2 - 2 x 3 = lim x → ∞ ⁡ 1 1 x 2 - 2 x 3 = ∞

Assim, não há assíntota horizontal .

Tomando x = 2 , temos:

lim x → 2 + ⁡ x 3 x - 2 = ∞

Logo, temos uma assíntota vertical em 2 .

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f ' x = 3 x 2 x - 2 - x 3 x - 2 2 = 2 x 3 - 6 x 2 x - 2 2 = 2 x 2 ( x - 3 ) x - 2 2   > 0   [ x ≠ 2 ]

Então, x < 2   , f ' x < 0 , assim f é decrescente em - ∞ , 0 e ( 0,2 ) e crescente em ( 2 , ∞ ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' c = 0 ou f ' c n ã o   e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f ' x = 0 ⇒ 2 x 2 ( x - 3 ) x - 2 2 = 0

Observamos que a equação é satisfeita para x = 2 e esse ponto não está definido na função, logo não possui é um ponto crítico; e para x = 3   , o qual pode ser. Vamos então analisar um ponto antes e depois dele:

  1. x = 2,5 ⇒ f 2,5 = 2,5 3 2,5 - 2 = 31,25
  2. x = 3 ⇒ f 3 = 3 3 3 - 2 = 27
  3. x = 4 ⇒ f 4 = 4 3 4 - 2 = 32

Logo a função descresce antes de 3 e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f ' ' x > 0 a função é côncava para cima e se f ' ' x < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f ' x = 2 x 3 - 6 x 2 x - 2 2 ⇒ f ' ' x =   6 x 2 - 12 x x - 2 2 - 2 ( x - 2 ) ( 2 x 3 - 6 x 2 ) x - 4 4 < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 0,2 ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - ∞ , 0 ) e ( 2 , ∞ ) .

Passo 8

Passo 9

Passo 10

Passo 11

Passo 12

Passo 13

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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