Determine lim h → 0 ⁡ tan 2 ⁡ ( a + h ) 3 - tan 2 ⁡ a 3 h .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o valor do limite:

lim h → 0 ⁡ tan 2 ⁡ ( a + h ) 3 - tan 2 ⁡ a 3 h

A forma mais fácil de fazer isso é observando que, usando a função f x = tan 2 ⁡ x 3 , essa equação descreve a derivada da função f no ponto a (pela definição de derivada). Então, calculando f ' ( a ) , vamos obter o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f x = tan 2 ⁡ x 3 , usando a Regra da Cadeia (fazendo a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro). Assim, vamos ter:

d d x tan 2 ⁡ x 3 = 1 3 tan 2 ⁡ x 3 1 3 - 1 ∙ d d x tan 2 ⁡ x

Repare que em tan 2 ⁡ x , a gente também tem uma função composta, então a gente usa a Regra da Cadeia de novo:

1 3 tan 2 ⁡ x 3 1 3 - 1 ∙ 2 tan ⁡ x d d x   tan ⁡ x

E a derivada da tangente é secante ao quadrado, então temos:

1 3 tan 2 ⁡ x 3 1 3 - 1 ∙ 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x

2 3 tan 2 ⁡ x 3 2 3 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x

Simplificando os termos semelhantes:

2 3 tan ⁡ x - 1 3 sec 2 ⁡ x

E usando a identidade trigonométrica sec 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x , temos:

2 3 tan ⁡ x - 1 3 cos 2 ⁡ x  

Mas, não podemos esquecer que queremos f ' a . Então, substituindo x = a , temos:

2 3 tan ⁡ ( a ) - 1 3 cos 2 ⁡ a

Que é o resultado do nosso limite lim h → 0 ⁡ tan 2 ⁡ ( a + h ) 3 - tan 2 ⁡ a 3 h .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 3 tan ⁡ ( a ) - 1 3 cos 2 ⁡ a

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