C11) As funções seno hiberbólico e cosseno hiperbólico são definidas como sinh ⁡ x = e x - e - x 2 e cosh ⁡ x = e x + e - x 2 , respectivamente.

b) Calcule a derivada de f x = sinh ⁡ x .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para calcularmos a derivada de f x = sinh ⁡ x .

Como o enunciado também nos fala quem é sinh ⁡ x , precisamos substituir para calcular a derivada.

Vamos lá:

f x = sinh ⁡ x

f ( x ) = e x - e - x 2

Passo 2

Nesse passo realizaremos o cálculo da derivada. Começando desmembrando a fração:

f x = e x 2 - e - x 2

Na primeira fração temos o seguinte:

1 2 ( e x )

A derivada é igual ao próprio termo:

1 2 e x

Já a segunda fração, teremos que utilizar a regra da cadeia:

- 1 2 e - x

A regra da cadeia determina que d d x f g x é f ' g x g ' ( x ) . No nosso exercício: f x = e x e g x = - x . Aplicando a regra:

- 1 2 e - x × d d x - x

- 1 2 × e - x × ( - 1 ) = 1 2 × e - x = e - x 2

Passo 3

Nesse passo, precisamos juntar as frações derivadas:

e x 2 + e - x 2

Como os denominadores são iguais, podemos juntar os denominadores

e x + e - x 2

Com certeza você percebeu que esse resultado é justamente o valor de cosh ⁡ x dado pelo enunciado. Então:

f ' x = cosh ⁡ x

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

f ' x = cosh ⁡ x

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