C12) As outras funções hiperbólicas são definidas como abaixo.

Tangente hiperbólica. tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x .

Cotangente hiperbólica. coth ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x .

Secante hiperbólica. sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x .

Cossecante hiperbólica. csch ⁡ x = 1 sinh ⁡ x .

Calcule o que se pede.

a) A derivada de f x = tanh ⁡ x .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para calcularmos a derivada de tanh ⁡ x .

O próprio enunciado nos falou que tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x .

E, também conhecemos quem são sinh ⁡ x e cosh ⁡ x , não é mesmo?

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Já que sabemos de tudo isso, podemos realizar a seguinte substituição:

tanh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

Isso pode ser reescrito como:

tanh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Agora o que temos que fazer é calcular a derivada dessa função encontrada!

Passo 2

Nesse passo realizaremos o cálculo. Começando:

e x - e - x e x + e - x

Como temos a divisão entre funções, precisamos usar a seguinte propriedade:

d d x f x g x = g x * f ' x - f x * g ' ( x ) g x 2

Sendo:

f x = e x - e - x

g x = e x + e - x

Portanto, vamos aplicar a regra. Para facilitar as nossas contas, podemos encontrar f ' ( x ) e g ' ( x ) .

Primeiro faremos f ' ( x ) :

Como f x = e x - e - x é uma subtração entre funções de x , precisamos calcular a derivada separadamente.

Em e x , a derivada é uma substituição direta, sendo e x .

Já em - e - x , teremos que utilizar a regra da cadeia, sendo h x = e x e j x = - x .

Relembrando, a regra da cadeira é h ' j x = h ' j x * j ' ( x ) . Então:

- 1 * e - x * - 1 = e - x

Juntando os termos:

f ' x = e x + e - x

Agora faremos g ' ( x ) :

Como g x = e x + e - x é uma soma entre funções de x , precisamos calcular a derivada separadamente.

Em e x , a derivada é uma substituição direta, sendo e x .

Já em e - x , teremos que utilizar a regra da cadeia, sendo h x = e x e j x = - x .

Então:

e - x * - 1 = - e - x

Juntando os termos:

g ' x = e x - e - x

Voltando para a divisão de funções, podemos substituir todos os termos:

d d x f x g x = e x + e - x * e x + e - x - e x - e - x * ( e x - e - x ) e x + e - x 2

Passo 3

Continuando a resolução, podemos realizar as multiplicações distributivas:

e 2 x + 2 e x * e - x + e - 2 x - e 2 x - 2 ( e x * e - x + e - 2 x ] e x + e - x 2

Perceba que e x * e - x é o mesmo que e x - x que é o mesmo que e 0 = 1 . Então:

e 2 x + 2 1 + e - 2 x - e 2 x - 2 ( 1 + e - 2 x ] e x + e - x 2

Agora podemos tirar os termos do colchete, respeitando o sinal de menos:

e 2 x + 2 + e - 2 x - e 2 x + 2 - e - 2 x e x + e - x 2

Simplificando os termos opostos:

4 e x + e - x 2

Beleza! Aqui tem uma sacada bem legal. Essa derivada pode ser reescrita como:

2 e x + e - x 2

Aqui temos a grande chave do nosso exercício. Encontramos exatamente os mesmos termos de cosh ⁡ x , porém de maneira inversa. Como se estivesse escrito na forma 1 cosh ⁡ x   . O nosso enunciado nos falou que sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x , então podemos reescrever nossa derivada como:

sech 2 ⁡ x

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

f ' x = sech 2 ⁡ x

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