C12) As outras funções hiperbólicas são definidas como abaixo.

Tangente hiperbólica. tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x .

Cotangente hiperbólica. coth ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x .

Secante hiperbólica. sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x .

Cossecante hiperbólica. csch ⁡ x = 1 sinh ⁡ x .

Calcule o que se pede.

c) A derivada de f x = sech ⁡ x .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para calcularmos a derivada de sec h ⁡ x .

O próprio enunciado nos falou que sec h ⁡ x = 1 cos h ⁡ x .

E, também conhecemos quem é cosh ⁡ x , não é mesmo?

cos h ⁡ x = e x + e - x 2

Já que sabemos de tudo isso, podemos realizar a seguinte substituição:

sec h ⁡ x = 1 e x + e - x 2

Isso pode ser reescrito como:

sec h ⁡ x = 2 e x + e - x

Agora o que temos que fazer é calcular a derivada dessa função encontrada!

Passo 2

Nesse passo realizaremos o cálculo. Começando:

2 e x + e - x

Temos uma outra maneira de escrevermos essa função:

2 * e x + e - x - 1

Para derivarmos isso, teremos:

2 * d d x e x + e - x - 1

Essa derivada deve ser calculada com a regra da cadeia, sendo f x = x - 1 e g x = e x + e - x .

Relembrando, a regra da cadeia nos fala que: f ' g x = f ' g x * g ' ( x ) .

Então:

2 * - e x + e - x - 2 * d d x e x + e - x

Passo 3

Veja que a regra da cadeia do passo anterior gerou uma nova função a ser derivada.

Vamos chamar essa função de h x = e x + e - x .

Como h x = e x + e - x é uma soma entre funções de x , precisamos calcular a derivada separadamente.

Em e x , a derivada é uma substituição direta, sendo e x .

Já em e - x , teremos que utilizar a regra da cadeira, sendo h x = e x e j x = - x .

Então:

e - x * - 1 = - e - x

Juntando os termos:

h ' x = e x - e - x

Agora podemos juntar tudo!

2 * - e x + e - x - 2 * ( e x - e - x )

Reescrevendo:

- 2 * ( e x - e - x ) e x + e - x 2 = - 1 * 2 * ( e x - e - x ) e x + e - x * ( e x + e - x )

Aqui temos a grande chave do exercício.

Primeiro temos 2 ( e x + e - x ) que é exatamente o inverso de cosh ⁡ x , ou seja 1 cosh ⁡ x . O enunciado nos fala que sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x , então teremos:

- 1 * sech ⁡ x * e x - e - x e x + e - x

Agora temos que reparar que tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x .

Como:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Podemos reescrever:

tanh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2 = e x - e - x 2 * 2 e x + e - x

Simplificando:

tanh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Olha que legal! tanh ⁡ x é exatamente o termo que ficou na nossa derivada!

Então:

- 1 * sech ⁡ x * e x - e - x e x + e - x = - 1 * sech ⁡ x * tanh ⁡ x

- sech ⁡ x tanh ⁡ x

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

f ' x = - sech ⁡ x tanh ⁡ x

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