Para cada uma das funções f   ( x )   =   u   ( x )   v ( x ) , em que u   ( x ) e v   ( x ) são dadas a seguir, faça o que se pede

(a) u   ( x )   =   x e v   ( x ) = e x

f   ( x )   =   [ x ] e x  

(a.a) Reescreva f (x), usando uma propriedade dos logaritmos, como

  f   ( x )   =   e   l n ( u ( x )   v ( x )   ) =   e v ( x )   l n ( u ( x ) ) =   ( h   ◦   g )   ( x )

em que g   ( x )   =   v   ( x )   l n   ( u   ( x ) ) e h   ( x )   = e   x   . Em seguida, use a regra da cadeia para obter f   ′   ( x ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que derivar a função:

  f   ( x )   =   [ x ] e x  

Tendo u   ( x )   =   x e v   ( x ) = e x , vamos reescrever da seguinte forma:

  f   ( x )   =   e   l n ( u ( x )   v ( x )   ) =   e v ( x )   l n ( u ( x ) ) =   ( h   ◦   g )   ( x )

E utilizando a regra da cadeia temos que:

f '   ( x ) = d h d g d g d x

Sendo g   ( x )   =   v   ( x )   l n   ( u   ( x ) ) e h   ( x )   = e   x   . Então vamos lá!

Passo 2

Temos que:

u   ( x )   =   x e v   ( x ) = e x

vamos reescrever da seguinte forma:

  f   ( x )   =   e   l n ( x ( e x )   ) =   e e x   l n ( x ) =   ( h   ◦   g )   ( x )

Onde,

g   ( x )   =   e x   l n   ( x ) e h   ( x )   = e   x  

Passo 3

Utilizando a regra da cadeia, tomamos a derivada:

f '   ( x ) = d h d g d g d x = d e g d g d ( e x l n   x ) d x =   e e x   l n ( x ) ( e x l n   x + e x x ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f '   ( x ) =   e e x   l n ( x ) ( e x l n   x + e x x )

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