Calcule:

b )   a r c c o s ( x ) '

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

O enunciado aqui não é muito detalhado, ele pede com que calculemos o seguinte

a r c c o s ( x ) '

Note que esta é a derivada da função

f ( x ) = a r c c o s ( x )

Mas como calcular essa derivada? Vamos precisar utilizar algumas derivadas conhecidas juntamente com a regra da cadeia, além de algumas propriedades das funções trigonométricas! Vem comigo!

Passo 2

Antes de começarmos a derivar, vamos manipular a nossa função, de maneira bastante conveniente, podemos escrever que

c o s ( f ( x ) ) = c o s ( a r c c o s ( x ) ) = x

já que cosseno é a função inversa do arcocosseno. Podemos então derivar de ambos os lados

d d x [ c o s ( f ( x ) ) ] = d d x ( x )

Temos pela regra do tombo que d d x ( x ) = 1 x 1 - 1 = 1 . De forma que temos

d d x [ c o s ( f ( x ) ) ] = 1

Aqui vamos precisar aplicar a regra da cadeia! Lembra como faz isso? Saca só!

Passo 3

A regra da cadeia é da seguinte forma

d d x ( h ( g ( x ) ) ) = d d g h ( g ) d ( g ( x ) ) d x

Temos em nosso caso que c o s ( f ( x ) ) = h ( g ( x ) ) , portanto, temos que h = c o s ( g ) e g ( x ) = f ( x ) . A regra da cadeia faz com que nossa derivada se torne então

d d g [ c o s ( g ) ] d d x ( f ( x ) ) = 1

Se lembrarmos a seguinte derivada conhecida

d d g [ c o s ( g ) ] = - s e n ( g )

Podemos isolar a derivada desejada d d x [ f ( x ) ] , como

d d x [ f ( x ) ] = - 1 s e n ( g ( x ) )

Usando que g ( x ) = f ( x ) = a r c c o s ( x ) , podemos reescrever a derivada como

d d x [ a r c c o s ( x ) ] = - 1 s e n ( a r c c o s ( x ) )

Para chegar no resultado usual ainda precisamos reescrever um pouquinho! Vamos utilizar uma identidade trigonométrica para isso! Saca só!

Passo 4

Utilizando que

s e n 2 ( a r c c o s ( x ) ) + c o s 2 ( a r c c o s ( x ) ) = 1

Isolando o s e n ( a r c c o s ( x ) ) , temos que

s e n ( a r c c o s ( x ) ) = 1 - c o s 2 ( a r c c o s ( x ) )

Como temos que arcocosseno e cosseno são funções inversas, a relação acima é equivalente à

s e n ( a r c c o s ( x ) ) = 1 - x 2

E, finalmente, nossa derivada é

d d x [ a r c c o s ( x ) ] = - 1 1 - x 2

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ a r c c o s ( x ) ] = - 1 1 - x 2

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