Calcule a derivada

f ( x ) = ( x 2 + x + 1 ) e - x l n ( x ) x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a derivada de

f ( x ) = ( x 2 + x + 1 ) e - x l n ( x ) x

Para isso, vamos relembrar algumas regras de derivação

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Passo 2

Vamos derivar

f ( x ) = ( x 2 + x + 1 ) e - x l n ( x ) x

Para isso, vamos usar a regra da razão

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Mas antes disso, vamos calcular a derivada de

( x 2 + x + 1 ) e - x

Usando a regra do produto, a derivada é dada por

( 2 x + 1 ) e - x - ( x 2 + x + 1 ) e - x

= - ( x 2 - x ) e - x

e a derivada de

l n ( x ) x

Usando a regra do produto, a derivada é dada por

x / x + 1 2 l n ( x ) x - 1 / 2

= ( 1 + 1 2 l n ( x ) ) x - 1 / 2

Passo 3

Então, como

f ( x ) = ( x 2 + x + 1 ) e - x l n ( x ) x

Logo, pela regra da razão sua derivada é

f ' ( x ) = ( ( x 2 + x + 1 ) e - x ) ' l n ( x ) x - ( x 2 + x + 1 ) e - x ( l n ( x ) x ) ' ( l n ( x ) ) 2 x

Usando as derivadas que calculamos no passo anterior. Temos que

f ' ( x ) = ( - ( x 2 - x ) e - x ) l n ( x ) x   - ( x 2 + x + 1 ) e - x ( 1 + 1 2 l n ( x ) ) x - 1 / 2 ( l n ( x ) ) 2 x

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= ( - ( x 2 - x ) e - x ) l n ( x ) x   - ( x 2 + x + 1 ) e - x ( 1 + 1 2 l n ( x ) ) x - 1 / 2 ( l n ( x ) ) 2 x

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