2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.

(f) f x = x + 2 x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa questão foi bem direta com a gente. Temos que calcular a derivada da função f ( x ) , onde

f x = x + 2 x

Minha nossa!! Parece muito complexa! Uma raiz dentro de outra raiz?? E agora? 🤔🤔

Para resolver essa derivada, certamente vamos usar a regra da cadeia. Sabe como aplicamos ela?

A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Quando isso acontece, montamos a derivada a partir da seguinte frase “a derivada da função de dentro · a derivada da função de fora”

Para calcular a derivada da função de fora vamos substituir a função que está contida por uma variável qualquer. Por exemplo

d f g x d x = d g x x · d f h d h

Onde h é a variável que escolhemos para substituir g x

Entendeu? Vamos ver no caso da nossa função!

Passo 2

Então bora calcular essa derivada!

d f d x = d x + 2 x d x

Quando temos uma função dentro de uma raiz, o melhor a se fazer é aplicar a regra da cadeia.

Ou seja, a derivada de dentro · derivada de fora. Onde vamos chamar u = x + 2 x

d x + 2 x d x = d x + 2 x d x · d u d u

Sabemos que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então podemos escrever a derivada de x + 2 x como

d x + 2 x d x = d x d x + d 2 x d x

E como vimos antes, a derivada de uma função dentro de uma raiz, é calculada a partir da regra da cadeia. Logo, considerando v = 2 x

d 2 x d x = d 2 x d x · d v d v

Substituindo esses valores em d f / d x etapa por etapa, temos

d f d x = d x + 2 x d x = d x + 2 x d x · d u d u

d f d x = d x + 2 x d x = d x d x + d 2 x d x · d u d u

d f d x = d x + 2 x d x = d x d x + d 2 x d x · d v d v · d u d u

O que devemos calcular é

d f d x = d x d x + d 2 x d x · d v d v d u d u

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas separadamente e substituir na equação abaixo

d f d x = d x d x + d 2 x d x · d v d v d u d u

Primeiro calculamos a derivada

d x d x

Subtraindo 1 da potencia de x , temos

d x d x = x 1 - 1 = x 0

Todo número elevado a 0 , é igual a 1 , então

d x d x = 1

Agora vamos calcular a derivada

d 2 x d x

Temos uma constante, então podemos botar ela para fora da derivada

d 2 x d x = 2 d x d x

Acabamos de calcular a derivada de x , logo

d 2 x d x = 2 · 1

d 2 x d x = 2

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada

d v d v

Perceba que a função v = u , diferenciando apenas as variáveis, com isso, a derivada das duas serão iguais, apenas com a variável diferente.

Podemos escrever essa função como

v = v 1 2

Pelo derrubando a potência e subtraindo 1 do expoente, temos

d v d v = 1 2 v 1 2 - 1

d v d v = 1 2 v - 1 2

Isso é a mesma coisa de escrever

d v d v = 1 2 v

Se a derivada de v e u são análogas, podemos afirmar que

d u d u = 1 2 u

Entendeu?

Passo 5

Por fim, vamos substituir os valores que calculamos em d f / d x

d f d x = d x d x + d 2 x d x · d v d v d u d u

d f d x = 1 + 2 · 1 2 v 1 2 u

Substituindo u por x + 2 x e v por 2 x de volta à equação, temos

d f d x = 1 + 2 · 1 2 2 x 1 2 x + 2 x

Simplificando um pouco mais o resultado

d f d x = 1 + 1 2 x 1 2 x + 2 x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d f d x = 1 + 1 2 x 1 2 x + 2 x

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