2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.

(g) f x = l n x x 2 + 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, o enunciado e o objetivo foram bem diretos. Temos uma função f x e devemos calcular sua derivada por meio de algum método.

Se essa questão caísse na prova, o que faríamos??

Não! Chorar não é uma opção! Nós vamos resolve-la e tirar um 10!

Analisando a função f x , vemos que ela é uma função composta, ou seja, tem uma função entro de outra função.

Podemos escrever f x como

f x = g h x

Onde h x =   x x 2 + 1 e g h x = ln ⁡ h x

Quando temos esses casos, devemos usar a regra da cadeia para derivar f x . Sabe do que se trata essa regra?

A regra da cadeia é um método que consiste em derivar a função que está contida dentro da outra e multiplicar pela derivada da função que contém, substituindo a função contida por uma variável qualquer.

Veja só!

Passo 2

De modo geral, escrevemos f ' x como

f ' x = h ' x · g ' u

Para funções do tipo f x = g h x

Ou seja, como já identificamos g h x e h x no passo anterior e substituindo h x por u em g h x , temos

f ' x = d x x 2 + 1 d x · d ln ⁡ u d u

Mas espera aí! A derivada de x x 2 + 1 pode ser calculada pela regra do produto, onde calculamos a derivada da primeira função · a segunda função + a primeira função · a derivada da segunda. Olhe só.

h ' x = d x d x · x 2 + 1 + x · d x 2 + 1 d x

Mas espera aí de novo! A derivada de x 2 + 1 é calculada pela regra da cadeia também já que p x = q x , onde q x = x 2 + 1 . Ou seja

p ' x = d x 2 + 1 d x = d x 2 + 1 d x · d v d v

Substituindo p ' x em h ' x e posteriormente em f ' x , temos

f ' x = d x d x · x 2 + 1 + x · d x 2 + 1 d x · d v d v · d ln ⁡ u d u

Virou um mix de regrinhas e métodos. Mas relaxa! Tudo isso vem para nos ajudar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas separadamente para facilitar a visualização do que estamos fazendo.

primeiro vamos calcular a derivada de x .

Sabemos que a derivada de uma variável de ordem 1 é igual a constante que a multiplica, ou seja

d x d x = 1

Calculando a derivada de x 2 + 1 . Por derivação de polinômios multiplicamos a variável pelo seu expoente e subtraímos 1 da potência.

d x 2 + 1 d x = 2 · x 2 - 1 = 2 x

A próxima é a derivada de v . Podemos escrever como v 1 2   e derivar como um polinômio, veja só.

d v d v = 1 2 · v 1 2 - 1 = 1 2 v

Por fim, a derivada de ln ⁡ u é dada diretamente como

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo esses resultados em f ' x , temos

f ' x = 1 · x 2 + 1 + x · 2 x · 1 2 v · 1 u

Entendeu?

Passo 4

Substituindo u por x x 2 + 1 e v por x 2 + 1 de volta, temos

f ' x = 1 · x 2 + 1 + x · 2 x · 1 2 x 2 + 1 · 1 x x 2 + 1

Vamos simplificar a equação

f ' x = x 2 + 1 + 2 x 2 1 2 x 2 + 1 · 1 x x 2 + 1

f ' x = 1 x + 2 x 2 1 2 x x 2 + 1

f ' x = 1 x + x 1 x 2 + 1

Com isso, chegamos ao resultado

f ' x = 2 x 2 + 1 x x 2 + 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 2 x 2 + 1 x x 2 + 1

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