2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.

(h) f x = x 3 - 3 x 2 x 4 + 1 5 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

A questão foi bem direta com a gente, não foi?

A ideia principal é calcular a derivada de f x , onde

f x = x 3 - 3 x 2 x 4 + 1 5 2

Para obter a derivada de f , temos que ter em mente duas coisas que vamos usar para facilitar nossa vida.

A primeira é ter o entendimento da regra do quociente. Perceba que f é dada pelo quociente de duas funções que vamos chamar de g x e h x , veja só

f x = g x h x

Logo vemos que g x = x 3 - 3 x 2 e h x = x 4 + 1 5 2 . A regra quociente diz que se f é dada pelo quociente de duas funções g x e h x , então a derivada de f é dada por

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Entendeu?

Passo 2

A outra coisa que temos que ter em mente é a regra da cadeia. Essa regra diz que quando temos uma função composta, no caso, h x = p q x a derivada de h é dada por

h ' x = q ' x · p ' u

Perceba que h x é uma função composta pois podemos escreve-la como

h x = q x 5 2

Onde q x = x 4 + 1 e substituindo q x por uma variável u , temos uma nova função p x = u 5 2 .

Com isso, quando fomos calcular h ' x , temos que aplicar essa regra!

Entendido?

Passo 3

Vamos começar nossos cálculos.

Como dito no início, vamos usar a regra do quociente onde g x = x 3 - 3 x 2 e h x = x 4 + 1 5 2

f ' x = d x 3 - 3 x 2 d x · x 4 + 1 5 2 - x 3 - 3 x 2 · d x 4 + 1 5 2 d x x 4 + 1 5 2 2

Assustador, não é?

Mas relaxa, vamos passar por essa juntos!

Como dito no passo 2 quando calcularmos h ' x vamos ter que usar a regra da cadeia, ou seja “a derivada de dentro · a derivada de fora”

d x 4 + 1 5 2 d x = d x 4 + 1 d x · d u 5 2 d u

Substituindo essa informação em f ' x , temos

f ' x = d x 3 - 3 x 2 d x · x 4 + 1 5 2 - x 3 - 3 x 2 · d x 4 + 1 d x · d u 5 2 d u x 4 + 1 5 2 2

Vamos calcular uma derivada de cada vez pra facilitar o entendimento do que estamos fazendo.

Bora lá!

Passo 4

Primeiro vamos calcular a derivada de x 3 - 3 x 2 . Essa é uma derivada de polinômio, logo aplicamos a regrinha de multiplicar a variável pela potência e subtrair 1 do expoente. Veja só!

d x 3 - 3 x 2 d x = 3 · x 3 - 1 - 2 · 3 · x 2 - 1 = 3 x 2 - 6 x

A próxima derivada é a derivada de x 4 + 1 . Partindo do mesmo princípio de derivada de polinômios, lembrando que a derivada de uma constante é 0 , então

d x 4 + 1 d x = 4 · x 4 - 1 + 0 = 4 x 3

Por fim, a derivada de u 5 2 também é obtida a partir da mesma ideia das anteriores: “derruba a potência e subtrai 1 do expoente”

d u 5 2 d u = 5 2 · u 5 2 - 1 = 5 2 u 3 2

Mas lembre-se que não podemos deixar a resposta em função de u , então temos que voltar u para x 4 + 1 , então

d u 5 2 d u = 5 2 x 4 + 1 3 2

Substituindo essas respostas em f ' x , vamos poder obter a resposta final.

Está acompanhando?

Passo 5

Nossa derivada de f é então

f ' x = 3 x 2 - 6 x · x 4 + 1 5 2 - x 3 - 3 x 2 · 4 x 3 · 5 2 x 4 + 1 3 2 x 4 + 1 5 2 2

Podemos simplificar o quociente. Quando temos uma potência de uma potência, unimos multiplicando-as

f ' x = 3 x 2 - 6 x · x 4 + 1 5 2 - x 3 - 3 x 2 · 4 x 3 · 5 2 x 4 + 1 3 2 x 4 + 1 5 2 · 2

Com isso, a resposta da derivada de f é

f ' x = 3 x 2 - 6 x · x 4 + 1 5 2 - x 3 - 3 x 2 · 4 x 3 · 5 2 x 4 + 1 3 2 x 4 + 1 5

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 3 x 2 - 6 x · x 4 + 1 5 2 - x 3 - 3 x 2 · 4 x 3 · 5 2 x 4 + 1 3 2 x 4 + 1 5

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x