2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.

(i) f x = a r c t a n 3 x 2 + 1

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, temos que obter a derivada de f onde

f x = a r c t a n 3 x 2 + 1

Minha nossa! a r c t a n ? Não faço ideia de como é a derivada disso!

Para a derivada de funções trigonométricas, inversas de trigonométricas ou de l n por exemplo, temos que decorar.

Mas não se preocupe! Com a prática fica tudo mais fácil.

Para obter nosso resultado, temos que ter em mente a definição da regra da cadeia. Sabe do que se trata esse método?

Quanto temos uma função composta, como no nosso caso de f x , podemos obter a derivada de f de forma mais tranquila se aplicarmos a regra da cadeia.

Uma função composta tem a cara de f x = g h x , comparando com nossa função, podemos concluir que h x = 3 x 2 + 1 e g x = arctan ⁡ h x .

Com isso, a regra diz que a derivada de f é dada pela derivada da função h multiplicada pela derivada da função g substituindo h por uma variável qualquer.

Também é muito conhecida pela frase “a derivada de dentro · a derivada de fora”.

Entendeu? Bora lá!

Passo 2

Já separamos f em g e h , então pela regra da cadeia, a derivada de f será

f ' x = h ' x · g ' u

Perceba que substituímos h x por u na derivada de g

Com isso, temos

f ' x = d 3 x 2 + 1   d x · d arctan ⁡ u d u

A derivada de 3 x 2 + 1   pode ser obtida por derivação de polinômios. Nesse caso multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente. Lembrando que a derivada de uma constante é 0 .

d 3 x 2 + 1   d x = 2 · 3 x 2 - 1 + 0 = 6 x

Agora a derivada de a r c t a n não é trivial, então temos que decorar assim como decoramos a derivada do s e n e do c o s . Então de forma mais direta

d arctan ⁡ u d u = 1 u 2 + 1

Porém, não podemos deixar a resposta em função de u , então temos que voltar u a ser h x

u h x = 1 3 x 2 + 1 2 + 1

Bacana, não é?

Passo 3

Por fim, substituímos os resultados que encontramos em f ' x

f ' x = d 3 x 2 + 1   d x · d arctan ⁡ u d u

f ' x = 6 x · 1 3 x 2 + 1 2 + 1

Com isso, nossa derivada de f x é obtida como

f ' x = 6 x 3 x 2 + 1 2 + 1

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = 6 x 3 x 2 + 1 2 + 1

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Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x