2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.

(j) f x = e x x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa questão chegou chegando e já mandou a gente calcular a derivada de uma função f onde

f x = e x x

Parece difícil? Como acha que podemos começar a resolver essa derivada??

Antes de iniciar o cálculo da nossa derivada temos q ter ideia de dois conceitos que vão facilitar nossa vida nesse exemplo.

O primeiro de todos é saber manipular expoentes, no nosso exemplo, temos e x x .

Sabemos que quando temos de dois valores em que a base é igual e os expoentes são diferentes, somamos os expoentes e mantemos a base. Por exemplo

e x · e 2 x = e x + 2 x = e 3 x

Mas e quando temos uma potência elevada a outra potência?

Nesse caso devemos manter a base e multiplicar os expoentes. Por exemplo

e 2 3 = e 2 · 3 = e 6

O outro conceito é com relação a regra da cadeia para derivar uma função composta.

Quando temos uma função composta do tipo f x = g h x a derivada de f é dada como f ' x = h ' x · g ' h x , substituindo h x por uma variável qualquer em g ' h x .

Com esses conceitos em mente, bora partir para nossos cálculos! 😉😉

Passo 2

Analisando a função f x vemos que podemos aplicar o conceito que acabamos de aprender sobre as potências. Então podemos reescrever f x como

f x = e x x → f x = e x · x

f x = e x 2

Temos uma função que parece ser um pouco menos complicada, não é?

Agora vamos partir para o cálculo da derivada de f

Perceba que f é uma função composta, já que f x = g h x onde h x = x 2 e g h x = e h x .

A princípio pode não ser tão simples identificar o momento de se usar a regra da cadeia por não conseguirmos identificar uma função composta.

Mas vai uma dica! Se temos uma função s e n , c o s , e , l n ou qualquer uma trigonométrica onde a variável não é apenas x , usamos a regra da cadeia.

Já identificamos g e h na nossa função f , vamos montar a derivada.

f ' x = h ' x · g ' h x

f ' x = d x 2 d x · d e u d u

Perceba que já substituímos h x por uma variável qualquer em g ' h x .

Está compreendendo?

Passo 3

Vamos calcular uma derivada de cada vez para facilitar o entendimento do que estamos fazendo, depois juntamos tudo novamente em f ' x .

Primeiro calculando a derivada de x 2 . Por derivada de polinômios, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente.

d x 2 d x = 2 · x 2 - 1 = 2 x

Agora para a derivada de e u , a solução é bem simples já que a derivada de e u é a própria e u !

d e u d u = e u

Porém não podemos deixar f ' x em função de u , então temos que devolver x a ela substituindo u por h x de volta.

u h x = x 2 = e h x = e x 2

Por fim, substituímos esses resultados em f ' x e obtemos o resultado!

f ' x = 2 x · e x 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 2 x · e x 2

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