2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.

(k) f x = x 2 e - x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para resolver essa questão, vamos calcular a derivada de f x onde

f x = x 2 e - x

O que podemos afirmar só de olhar para f x ?? 🤔🤔

Analisando a função, podemos prever que vamos ter que aplicar dois conceitos para obter a derivada de f .

Observe que temos um produto de duas funções em f onde f x = g x · h x . Comparando com nossa função podemos afirmar que g x = x 2 e h x = e - x .

Com isso, vamos ter que aplicar o conceito da regra do produto para a derivada.

Esse conceito diz que quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, a derivada é dada por

f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Pra lembrar dessa regra sem decorar a formula, decoramos a frase “a derivada da primeira · a segunda + a primeira · a derivada da segunda”.

Mais fácil, não é? 😎

Passo 2

Perceba que na regra do produto, vamos ter que calcular h ' x , onde h x = e - x . Aí que entra o segundo conceito que temos que ter em mente: a regra da cadeia!

Perceba que h é uma função composta do tipo h x = p q x onde q x = - x e p q x = e q x .

Quando temos isso, devemos aplicar a regra da cadeia que diz que a derivada de uma função composta é dada por

h ' x = q ' x · p ' q x ,     p ' q x → u

Em p ' q x , substituímos q x por uma constante qualquer e depois de calculado a derivada, voltamos q x em u .

É isso! Bora montar nossa derivada? 😁

Pela regra do produto, temos

f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

f ' x = d x 2 d x · e - x + x 2 · d e - x d x

Porém, em h ' x , temos que aplicar a regra da cadeia, então vamos ter

d e - x d x = d - x d x · d e u d u

Substituindo essa informação em f ' x , temos

f ' x = d x 2 d x · e - x + x 2 · d - x d x · d e u d u

A pior parte já foi! Agora é partir para o abraço.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas separadamente pra evitar que a gente se confunda no caminho.

Primeiro calculamos a derivada de x 2 , por derivada de polinômios multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente.

d x 2 d x = 2 · x 2 - 1 = 2 x

Partindo do mesmo princípio a derivada de - x é dada por

d - x d x = - 1 x 1 - 1 = - 1

Já a derivada de e u nem precisamos nos preocupar, já que o resultado é a própria função e u .

d e u d u = e u

Porém não podemos deixar o resultado em função de u , então substituímos u por q x de volta.

e u → e q x → e - x

Bacana, não é? 🤩

Passo 4

Substituindo os resultados em f ' x , temos

f ' x = 2 x · e - x + x 2 · - 1 · e - x

Simplificando a equação, temos

f ' x = 2 x e - x - x 2 e - x

f ' x = 2 x - x 2 e - x

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 2 x - x 2 e - x

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x