2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.

(l) f x = arccos ⁡ 1 x 2 + 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Essa questão foi bem direta com a gente. Simplesmente foi dado uma função f x e foi pedido para obtermos a sua derivada.

f x = arccos ⁡ 1 x 2 + 1

Essa função é uma inversa de trigonométrica então não sabemos calcular sua derivada por algum método, então vamos precisar decorar.

Sabe como podemos calcular f ' ?? 🤔🤔

Para obter a derivada de f , temos que ter em mente um conceito bem claro. Esse conceito é o que chamamos de regra da cadeia.

Quando temos uma função composta, como no nosso caso, precisamos aplicar essa regra pra facilitar nossa vida.

Este conceito diz que quando temos uma função do tipo f x = g h x , a derivada de f é dada por

f ' x = h ' x · g ' h x ,     h x → u

Quando temos g ' h x , vamos substituir h x por u .

Analisando a função, vemos que h x = 1 / ( x 2 + 1 ) e g h x = arccos ⁡ h x

Com essa ideia bem refrescada em nossa mente, vamos para o cálculo de f ' ! 😎

Passo 2

Já indicamos g x e h x , então podemos montar nossa função f ' x

f ' x = d 1 x 2 + 1 d x · d arccos ⁡ u d u

Perceba que já substituímos h x por u em g ' h x

Podemos escrever 1 x 2 + 1 como x 2 + 1 - 1 .

Espera aí! Isso também é uma função composta, concorda?

Veja só

h x = p q x ,     p q x = q x - 1

Ou seja, em h ' x , vamos aplicar a regra da cadeia também. Então podemos escreve-la como

h ' x = q ' x · p ' q x ,     q x → v

Vamos substituir q x por outra variável qualquer em p ' q x .

d 1 x 2 + 1 d x = d x 2 + 1 d x · d v - 1 d v

Substituindo essa informação em f ' x , temos

f ' x = d x 2 + 1 d x · d v - 1 d v · d arccos ⁡ u d u

Entendeu? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas separadamente pra não desorganizar nossas ideias.

A derivada de x 2 + 1 é obtida a partir da derivação de polinômios onde multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente. Lembrando que a derivada de uma constante é 0 .

d x 2 + 1 d x = 2 · x 2 - 1 + 0 = 2 x

Segundo a mesma ideia, a derivada de v - 1 é

d v - 1 d v = - 1 · v - 1 - 1 = - v - 2

Já a derivada de a r c c o s vamos ter que decorar, pois não temos um método de obtenção como o polinômio, por exemplo

d arccos ⁡ u d u = - 1 1 - u 2

Obtemos os resultados, mas não podemos deixar f ' x em função de v e u , então substituímos por q x e h x respectivamente.

v → q x ,     - v - 2 → - x 2 + 1 - 2

u → h x ,     - 1 1 - u 2 → - 1 1 - 1 x 2 + 1 2

Passo 4

Substituindo esses resultados em f ' x , temos

f ' x = 2 x · - x 2 + 1 - 2 · - 1 1 - 1 x 2 + 1 2

Monstruoso, não é?

Organizando um pouco mais o resultado, temos

f ' x = 2 x x 2 + 1 2 1 - 1 x 2 + 1 2

Identificar as funções compostas nem sempre é tão simples, então temos que apelar para a prática.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 2 x x 2 + 1 2 1 - 1 x 2 + 1 2

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