Calcule a derivada da função dada:

y = x 3 3 1 + x sec ⁡ x 3

Passo 1

Como temos uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar:

y ' = x 3 ' 3 1 + x sec ⁡ x 3 - x 3 3 1 + x sec ⁡ x 3 ' 3 1 + x sec ⁡ x 3 2

Vamos calcular cada derivada separadamente.

Passo 2

x 3 ' = 3 x 2

Enquanto, para:

3 1 + x sec ⁡ x 3 = 3 1 + x sec ⁡ x 3 / 2

Para derivar, como temos uma função composta, vamos usar a regra da cadeia, consideramos u = 1 + x sec ⁡ x :

3 1 + x sec ⁡ x 3 / 2 ' = 3 d u 3 / 2 d u ⋅ d u d x

Sendo:

d u 3 / 2 d u = u 3 / 2 ' = 3 2 u 3 / 2 - 1 = 3 2 u 1 / 2 = 3 2 1 + x sec ⁡ x 1 / 2

E, pela regra do produto:

d u d x = 1 + x sec ⁡ x ' = x ' sec ⁡ x + x sec ⁡ x ' = sec ⁡ x + x sec ⁡ x tg ⁡ x

Ficando tudo:

3 1 + x sec ⁡ x 3 / 2 ' = 9 2 1 + x sec ⁡ x 1 / 2 ⋅ sec ⁡ x 1 + x tg ⁡ x

Passo 3

Agora, vamos substituir o que encontramos:

y ' = x 3 ' 3 1 + x sec ⁡ x 3 - x 3 3 1 + x sec ⁡ x 3 ' 3 1 + x sec ⁡ x 3 2 =

y ' = 3 x 2 3 1 + x sec ⁡ x 3 - x 3 9 2 1 + x sec ⁡ x 1 / 2 ⋅ sec ⁡ x 1 + x tg ⁡ x 9 1 + x sec ⁡ x 3

Simplificando:

y ' = x 2 1 + x sec ⁡ x 3 - x 3 1 + x sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x 1 + x tg ⁡ x / 2 1 + x sec ⁡ x 3

Pronto!

Resposta

y ' = x 2 1 + x sec ⁡ x 3 - x 3 1 + x sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x 1 + x tg ⁡ x / 2 1 + x sec ⁡ x 3

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