Calcule a derivada da seguinte função: f x = ln ⁡ sec ⁡ 2 x

Passo 1

Como temos uma função composta, é interessante usar a regra da cadeia aqui. Para tal, primeiros derivamos o log e depois o que está dentro dele.

Então, vamos considerar u = sec ⁡ 2 x , que é o que está dentro do log e fazer:

f ' x = d ln ⁡ u d u ⋅ d u d x

Vamos calcular cada uma das derivadas e depois substituir.

Passo 2

d ln ⁡ u d u = ln ⁡ u ' = 1 u = 1 sec ⁡ 2 x

E:

d u d x = d sec ⁡ 2 x d x = sec ⁡ 2 x ' = ? ?

Aqui temos outra função composta, com argumento 2 x , então vamos usar a regra da cadeia novamente, derivando primeiro a secante e depois o que está dentro dela. Para tal, vamos fazer w = 2 x , que é o que está dentro da secante:

sec ⁡ 2 x ' = d sec ⁡ w d w ⋅ d w d x

Sendo:

d sec ⁡ w d w = sec ⁡ w ' = sec ⁡ w ⋅ tg ⁡ w = sec ⁡ 2 x ⋅ tg ⁡ 2 x

E:

d w d x = 2 x ' = 2

Portanto: d u d x = sec ⁡ 2 x ' = d sec ⁡ w d w ⋅ d w d x = 2 sec ⁡ 2 x tg ⁡ 2 x

Passo 3

Substituindo os valores: f ' x = d ln ⁡ u d u ⋅ d u d x = 1 sec ⁡ 2 x ⋅ 2 sec ⁡ 2 x tg ⁡ 2 x = 2 tg ⁡ 2 x

Pronto!

Resposta

f ' x = 2 tg ⁡ 2 x

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