1 - Calcule a derivada das seguintes funções

(a) s e n c o s x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi dada uma função que vamos chamar de f x =   s e n c o s x e nosso objetivo é calcular a derivada dessa função.

Se formos aplicar os métodos convencionais para obter essa derivada não íamos conseguir, pois f x é uma função composta.

Portanto temos que aplicar algum método especial para esse caso!

Tem ideia de qual seja? 🤔🤔

Funções compostas são funções que, em seu interior, tem outras funções f g x .

Para esses casos, existe um método muito interessante para calcular sua derivada.

Chamamos esse método de regra da cadeia! Ele consiste em calcular a derivada da função interna e multiplicar pela função externa.

d f g x d x = g ' x · f ' g x

Entendeu? Bora ver no nosso caso! 😉

Passo 2

Se nossa função é dada por f x =   s e n c o s x consegue ver qual é a função externa e qual é a função interna?

f x é composta por um seno que dentro dele tem um cosseno, portanto, escrevendo a função como vimos no passo 1 f g x , a função interna g x é dada por cos ⁡ x já a função externa é dada como f g x = s e n g x .

Aplicando a regra da cadeia para obter a derivada, temos

d f g x d x = d g x d x · d f g x d g x

Substituindo g x por u na derivada de f g x com relação a g x , temos

d f g x d x = d g x d x · d f u d u

Substituindo g x por cos ⁡ x e f u por s e n u , vamos obter

d f g x d x = d cos ⁡ x d x · d s e n u d u

As derivadas de cos ⁡ x e s e n u são obtidas a partir do teorema fundamental do cálculo pois para esses casos, não podemos aplicar métodos convencionais.

Por esse teorema, essas derivadas são dadas como

d cos ⁡ x d x = - s e n x

d s e n u d u = cos ⁡ u

Substituindo na regra da cadeia...

d f g x d x = - s e n x · cos ⁡ u

Não podemos deixar o resultado em função de u então voltamos u para cos ⁡ x .

d f g x d x = - s e n x cos ⁡ cos ⁡ x

f ' x = - s e n x cos ⁡ cos ⁡ x

E essa é a derivada de f x dada no enunciado!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = - s e n x cos ⁡ cos ⁡ x

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