1 - Calcule a derivada das seguintes funções

f) l n x 3 c o s x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que calcular a derivada de f x = l n x 3 c o s x . Para nos auxiliar a obter essa derivada, vamos precisar aplicar algumas técnicas de derivação!

Pra isso, temos que analisar a função f x .

Tem ideia qual técnica vamos ter que usar? 🤔🤔

Logo de cara podemos ver que f x é uma função composta sendo g x = x 3 cos ⁡ x a função interna e ln ⁡ g x a função externa.

Portando começamos aplicando a regra da cadeia que consiste em calcular o produto da derivada de dentro com a derivada de fora, ou seja

f ' x = d x 3 cos ⁡ x d x · d ln ⁡ g x d g x

Substituindo g x por uma variável u para facilitar na visualização do que estamos fazendo, temos

f ' x = d x 3 cos ⁡ x d x · d ln ⁡ u d u

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 2

Na derivada de x 3 cos ⁡ x , vamos ter que aplicar outro método por x 3 e cos ⁡ x são duas funções, então, como essas funções estão sendo multiplicadas, o método que temos que usar é a regra do produto.

Esse método consiste em calcular o produto da derivada da primeira função com a segunda função e somar com a primeira função multiplicada pela derivada da segunda... ou seja

d x 3 cos ⁡ x d x = d x 3 d x · cos ⁡ x + x 3 · d cos ⁡ x d x

Substituindo em f ' x , temos

f ' x = d x 3 cos ⁡ x d x · d ln ⁡ u d u

f ' x = d x 3 d x · cos ⁡ x + x 3 · d cos ⁡ x d x · d ln ⁡ u d u

A derivada de x 3 é obtida pelo método de derivação polinomial

d x 3 d x = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Já as derivadas de cos ⁡ x e ln ⁡ u são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo. Quando temos que derivar uma função trigonométrica ou logarítmica, apelamos para esse teorema.

d cos ⁡ x d x = - s e n x

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo esses resultados em f ' x ...

f ' x = 3 x 2 · cos ⁡ x - x 3 · s e n x · 1 u

Não podemos deixar o resultado em função de u , portanto vamos voltar u para x 3 cos ⁡ x

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x - x 3 s e n x 1 x 3 cos ⁡ x

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x - x 3 s e n x x 3 cos ⁡ x

Simplificando colocando x 2 em evidência no denominador...

f ' x = x 2 3 cos ⁡ x - x s e n x x 3 cos ⁡ x

f ' x = 3 cos ⁡ x - x s e n x x cos ⁡ x

E essa é a derivada que tínhamos que encontrar! 😁

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 3 cos ⁡ x - x s e n x x cos ⁡ x

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