3a) Calcule a derivada de:

y = e sin ⁡ x 2 x

Passo 1

Uma função feia dessas, já deu pra ver que vamos precisar usar várias regras de derivação. A primeira que a gente tem que usar vai ser a regra da cadeia, porque veja bem, podemos entender esse y como o exponencial de uma função f x = sin ⁡ x 2 x . Sendo assim, pela regra da cadeia:

y = e sin ⁡ x 2 x

y ' = e sin ⁡ x 2 x ∙ sin ⁡ x 2 x '

Não acabou pelo visto, temos mais o que derivar. Essa nova derivada que surgiu é uma divisão de funções não é mesmo? Sendo assim, bora usar a regra do queociente. Vamos ter:

y ' = e sin ⁡ x 2 x ∙ sin ⁡ x 2 ' ∙ x - sin ⁡ x 2 ∙ x ' x 2

y ' = e sin ⁡ x 2 x ∙ sin ⁡ x 2 ' ∙ x - sin ⁡ x 2 ∙ x ' x

Puts, trocamos uma derivada por duas? É galera, tem jeito não, vamos derivar ainda mais! A começar por:

sin ⁡ x 2 '

Que também é uma regra da cadeia porque temos um x 2 dentro do seno. Sendo assim:

sin ⁡ x 2 ' = cos ⁡ x 2 ∙ x 2 ' = 2 x cos ⁡ x 2

Agora pra derivar x fica mais fácil se pensarmos nela como x = x 1 2 . Sendo assim:

x ' = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x 1 2 = 1 2 x

Passo 2

Agora é só juntar tudo e reorganizar a derivada:

y ' = e sin ⁡ x 2 x ∙ sin ⁡ x 2 ' ∙ x - sin ⁡ x 2 ∙ x ' x

sin ⁡ x 2 ' = 2 x cos ⁡ x 2

x ' = 1 2 x

Vamos ter:

y ' = e sin ⁡ x 2 x ∙ 2 x cos ⁡ x 2 ∙ x - sin ⁡ x 2 ∙ 1 2 x x

y ' = e sin ⁡ x 2 x ∙ 2 x x cos ⁡ x 2 x - sin ⁡ x 2 ∙ 1 2 x x

y ' = e sin ⁡ x 2 x ∙ 2 x cos ⁡ x 2 - sin ⁡ x 2 2 x x

Resposta

y ' = e sin ⁡ x 2 x ∙ 2 x cos ⁡ x 2 - sin ⁡ x 2 2 x x

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