Calcule as derivadas:

  1. f ( x ) = ( x 2 / 3 + 1 ) 3 / 2 + 1 3

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a derivada da função f(x). A gente vê que a função f(x) é uma função composta. Então, a gente já sabe que vai ter que usar a regra de cadeia! Se temos uma função g ( x ( t ) ) , temos que a sua derivada em relação à t é dada por

d d t g ( x ( t ) ) = d g d x × d x d t

Então, vamos escrever a função dada como uma composição de funções!

Passo 2

Se definirmos as funções

h ( u ) = u 3

u ( w ) = w 3 / 2 + 1

w ( x ) = x 2 / 3 + 1

Podemos escrever a função f(x) dada como f ( x ) = h ( u ( w ( x ) ) ) . Então, para derivar essa função em relação a x, vamos precisar utilizar a regra da cadeia para cada uma das variáveis u, w e x. Assim, obtemos

d d x f ( x ) = d d u h ( u ) × d d w u ( w ) × d d x w ( x )

Como a derivada de uma função polinomial x n é d d x x n = n   x n - 1 , temos que as derivadas h’(u), u’(w) e w’(x) são

d d u h ( u ) = d d u u 1 / 3 = 1 3 u - 2 / 3

d d w u ( w ) = 3 2 w

d d x w ( x ) =   2 3 x - 1 / 3

Então, a derivada de f(x) em relação à x é

d d x f ( x ) = 1 3 u - 2 / 3 × 3 2 w × 2 3 x - 1 / 3 = 1 3 ( x 2 / 3 + 1 ) ⋅ x - 1 / 3 ( ( x 2 / 3 + 1 ) 3 / 2 + 1 ) ² 3

Resposta

d d x f ( x ) = 1 3 ( x 2 / 3 + 1 ) ⋅ x - 1 / 3 ( ( x 2 / 3 + 1 ) 3 / 2 + 1 ) ² 3

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