Calcule as derivadas das funções a seguir:

k)

f x = 3 x + 2 2 x + 1 5

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos calcular a derivada da seguinte função f x :

f x = d d x 3 x + 2 2 x + 1 5

Para isso, temos que saber da regra da cadeia:

d d x f u = d f d u ∙ d u d x

Mas por que relembrar isso?

Porque a gente já sabe que a derivada de uma potência qualquer x n é dada da seguinte forma:

f ' x = n x n - 1

Só que a gente ainda tem que derivar a expressão dentro da potência!

Então bora lá!!

😉

Passo 2

Então... aplicando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 3 x + 2 2 x + 1 5 '

Vamos fazer u 5 , onde u = 3 x + 2 2 x + 1 .

Assim, obtemos:

f ' x = d d u u 5 ∙ d d x 3 x + 2 2 x + 1

Aplicando a regra da potência, temos:

f ' x = 5 * u 5 - 1 ∙ d d x 3 x + 2 2 x + 1

Para derivar esse termo que nos restou, temos que aplicar a regra do quociente!!

Passo 3

Sejam f e g duas funções diferenciáveis. A derivada do quociente f g é dada por:

f g ' = f ' * g - f * g ' g 2

Assim, para o nosso termo d d x 3 x + 2 2 x + 1 , temos:

3 x + 2 2 x + 1 ' = 2 x + 1 3 x + 2 ' - 3 x + 2 2 x + 1 ' 2 x + 1 2 ∴

3 x + 2 2 x + 1 ' = 2 x + 1 * 3 - 3 x + 2 * 2 2 x + 1 2 ∴

3 x + 2 2 x + 1 ' = - 1 2 x + 1 2

Logo, substituindo na expressão do Passo 2, temos:

f ' x = 5 * u 4 ∙ - 1 2 x + 1 2

Substituindo u , obtemos:

f ' x = 5 * 3 x + 2 2 x + 1 4 ∙ - 1 2 x + 1 2 ∴

f ' x = - 5 3 x + 2 4 2 x + 1 6

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = - 5 3 x + 2 4 2 x + 1 6

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