Calcule as derivadas das seguintes funções:

  1. f x = e - x - 2 tg ⁡ x x 4 + x 2 + 4
  2. g x = ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x
  3. h x = 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 4

Passo 1

Fala galera, tranquilin? Olha, vamos lá. Essas funções são feiassas, admito, porém a gente vai tirar de letra se sempre tentar olhar pra cara de quem está mais por fora. Veja a letra a ) por exemplo:

f x = e - x - 2 tg ⁡ x x 4 + x 2 + 4

Aqui, cos ⁡ x + 1 é uma função e x 2 s e n   x - 1 é outra, então quem está mais por fora é uma regra do produto, ok? Fazemos então:

f ' x = e - x - 2 tg ⁡ x ' x 4 + x 2 + 4 + e - x - 2 tg ⁡ x x 4 + x 2 + 4 '

E calculando essas derivadas, lembrando que derivada de constante é zero, temos:

f ' x = e - x ' - 2 tg ⁡ x ' ∙ x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 ∙ x 4 ' + x 2 ' + 4 '

f ' x = e - x ' - 2 tg ⁡ x ' ∙ x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 ∙ 4 x 3 + 2 x + 0

f ' x = e - x ' - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x ' ∙ x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 ∙ 4 x 3 + 2 x

Tem duas derivadas que ficaram faltando. A primeira é e - x ' . Essa aí a gente tira de letra se usarmos regra da cadeia, onde a função mais externa é e x com x substituído por - x , logo:

e - x ' = e x ' x → - x ∙ - x '

e - x ' = e x x → - x ∙ - 1

e - x ' = - e - x

Mas olha ali, faltou ainda uma derivada! Pra fazer ela, como temos uma função sobre a outra, usamos regra do quociente dessa vez:

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = sen ⁡ x ' cos ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x ' cos ⁡ x 2

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec ² ⁡ x

O resultado final da derivada de f x será:

f ' x = - e - x - 2 sec ² ⁡ x ∙ x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 ∙ 4 x 3 + 2 x

Função feia e enorme, mas é isso ai mesmo hahaha bora pras próximas letras

Passo 2

Letra b)

A nossa segunda derivada nada mais é do que uma razão de funções. Portanto, usaremos primeiro a regra do quociente aqui, tranquilo? Saca só:

g x = ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x

g ' x = ln ⁡ x ' 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x ' 1 + ln ⁡ x 2

g ' x = 1 x ∙ 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ x ∙ 1 ' + ln ⁡ x ' 1 + ln ⁡ x 2

O resultado final dessa derivada será:

g ' x = 1 x ∙ 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ x ∙ 0 + 1 x 1 + ln ⁡ x 2

g ' x = 1 x ∙ 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ x ∙ 1 x 1 + ln ⁡ x 2

Ainda da pra simplificar ela se você quiser, colocando 1 x em evidência no numerador:

g ' x = 1 x ∙ 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 = 1 x ∙ 1 1 + ln ⁡ x 2

g ' x = 1 x ∙ 1 + ln ⁡ x 2

Letra c)

Agora pra fechar com chave de ouro a gente olha pra função e nota: humm, ela pode ser entendida como um x 4 = x 1 4 com o x substituído por 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 . Sendo assim, uma regra da cadeia cai muito bem aqui. Vamos ter:

h x = 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 1 4

Então vamos combinar o seguinte:

u = 2 cos ⁡ x + x 4 + 2

Aplicando a regra da cadeia:

h ' x = d d x 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 × d d u u 1 4

Resolvendo:

h ' x = d d x 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 × 1 4 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 3 4

E finalmente:

h ' x = 4 x 3 - 2 sin ⁡ x × 1 4 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 3 4

E ta na mão! Última derivada feita!

Resposta

f ' x = - e - x - 2 sec ² ⁡ x ∙ x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 ∙ 4 x 3 + 2 x

g ' x = 1 x ∙ 1 + ln ⁡ x 2

h ' x = 4 x 3 - 2 sin ⁡ x × 1 4 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 3 4

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