Calcule as derivadas das seguintes funções:

  1. f x = 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 3
  2. g x = e x + ln ⁡ x cos ⁡ x + tg ⁡ x
  3. h x = e - x - 2 tg ⁡ x x 4 + x 2 + 4

Passo 1

Fala galera, tranquilin? Olha, vamos lá. Essas funções são feiassas, admito, porém a gente vai tirar de letra se sempre tentar olhar pra cara de quem está mais por fora. Veja a letra a ) por exemplo:

f x = 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 3

f x = 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 3

Aqui, x 3 = x 1 3 pode ser vista como uma função mais externa, onde a gente substituiu o x dentro dela por 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 , outra função. Quando é assim, a gente vai ter que usar a regra da cadeia, ok? Fazemos então:

f x = 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 3

f ' x = x 1 3 ' x → 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 ∙ 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 '

O que resulta em:

f ' x = 1 3 ∙ 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 3 - 1 ∙ 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 '

f ' x = 1 3 ∙ 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 3 - 3 3 ∙ 2 sen ⁡ x ' + ln ⁡ x ' + x 2 ' + 1 '

Calculando as derivadas mais à esquerda, temos:

f ' x = 1 3 ∙ 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 - 2 3 ∙ 2 sen ⁡ x ' + 1 x + 2 x + 0

f ' x = 1 3 ∙ 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 - 2 3 ∙ 2 cos ⁡ x + 1 x + 2 x

Função feia e enorme, mas é isso ai mesmo hahaha bora pras próximas letras

Passo 2

Letra b)

Pegando a mesma ideia da letra a), vemos que em:

g x = e x + ln ⁡ x cos ⁡ x + tg ⁡ x

O que temos mais por fora é uma função multiplicando outra. Então aqui vamos usar a regra do produto primeiro, ok? Vamos ter:

g ' x = e x + ln ⁡ x ' cos ⁡ x + tg ⁡ x + e x + ln ⁡ x cos ⁡ x + tg ⁡ x '

Pela propriedade das derivadas, isso é o mesmo que:

g ' x = e x ' + ln ⁡ x ' ∙ cos ⁡ x + tg ⁡ x + e x + ln ⁡ x ∙ cos ⁡ x ' + tg ⁡ x '

g ' x = e x + 1 x ∙ cos ⁡ x + tg ⁡ x + e x + ln ⁡ x ∙ - sen ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x '

Mas olha ali, faltou uma derivada! Pra fazer ela, como temos dessa vez uma função sobre a outra, usamos agora a regra do quociente:

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = sen ⁡ x ' cos ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x ' cos ⁡ x 2

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec ² ⁡ x

Resumindo essa doiderada toda, temos:

g ' x = e x + 1 x ∙ cos ⁡ x + tg ⁡ x + e x + ln ⁡ x ∙ - sen ⁡ x + sec ² ⁡ x

Passo 3

Letra c)

E pra fechar com chave de ouro, temos em h x , mais externamente, uma razão de funções. Portanto, usaremos primeiro a regra do quociente:

h x = e - x - 2 tg ⁡ x x 4 + x 2 + 4

h ' x = e - x - 2 tg ⁡ x ' x 4 + x 2 + 4 - e - x - 2 tg ⁡ x x 4 + x 2 + 4 ' x 4 + x 2 + 4 2

h ' x = e - x ' - 2 tg ⁡ x ' ∙ x 4 + x 2 + 4 - e - x - 2 tg ⁡ x ∙ x 4 ' + x 2 ' + 4 ' x 4 + x 2 + 4 2

h ' x = e - x ' - 2 tg ⁡ x ' ∙ x 4 + x 2 + 4 - e - x - 2 tg ⁡ x ∙ 4 x 3 + 2 x + 0 x 4 + x 2 + 4 2

Aproveitando que já calculamos antes tg ⁡ x ' , chegamos em:

h ' x = e - x ' - 2 sec ² ⁡ x ∙ x 4 + x 2 + 4 - e - x - 2 tg ⁡ x ∙ 4 x 3 + 2 x x 4 + x 2 + 4 2

Onde a úúúúnica derivada que falta a gente tira de letra se usarmos regra da cadeia de novo, onde a função mais externa é e x com x substituído por - x , logo:

e - x ' = e x ' x → - x ∙ - x '

e - x ' = e x x → - x ∙ - 1

e - x ' = - e - x

E feshow! Vamos ter:

h ' x = - e - x - 2 sec ² ⁡ x ∙ x 4 + x 2 + 4 - e - x - 2 tg ⁡ x ∙ 4 x 3 + 2 x x 4 + x 2 + 4 2

Resposta

f ' x = 1 3 ∙ 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 - 2 3 ∙ 2 cos ⁡ x + 1 x + 2 x

g ' x = e x + 1 x ∙ cos ⁡ x + tg ⁡ x + e x + ln ⁡ x ∙ - sen ⁡ x + sec ² ⁡ x

h ' x = - e - x - 2 sec ² ⁡ x ∙ x 4 + x 2 + 4 - e - x - 2 tg ⁡ x ∙ 4 x 3 + 2 x x 4 + x 2 + 4 2

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