Calcule as derivadas sucessivas das funções

f   ( x )   =   1 / x   e   g   ( x )   =   s e n   ( x   )

Em seguida, para cada uma delas determine uma lei de formação, ou seja, expresse

f ( n ) ( x )   e   g ( n ) ( x )   e m   f u n ç ã o   d e   x   e   n .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular as derivadas de

f   ( x )   =   1 / x   e   g   ( x )   =   s e n   ( x   )

E depois construir uma lei de formação para as derivadas superiores

f ( n ) ( x )   e   g ( n ) ( x )

alguma ideia de como começar?

Passo 2

Vamos começar derivando

f   ( x )   =   1 / x

Pela regra do polinômio, temos:

f   ( x )   =   1 / x = x - 1

Logo,

f ( 1 ) ( x ) = - 1 x - 2

derivando novamente, temos:

f ( 2 ) ( x ) = 2 x - 3

e mais uma vez, obtemos que

f ( 3 ) ( x ) = - 6 x - 4

Ou seja, podemos escrever uma derivada n-ésima como:

f ( n ) ( x ) = ( - 1 ) n ( n ! ) 6

Passo 3

Agora vamos para a segunda função,

g   ( x )   =   s e n   ( x   )

derivando uma vez,

g ( 1 )   ( x )   =   c o s ( x   )

derivando outra vez,

g ( 2 )   ( x )   =   - s i n ( x   )

derivando outra vez,

g ( 3 )   ( x )   =   - c o s ( x   )

derivando outra vez,

g ( 4 )   ( x )   =   s i n ( x   )

Ou seja, quando derivamos o seno 4 vezes, retornamos ao seno.

Então, podemos construir a seguinte lei de formação.

g ( n ) ( x ) = s e n   ( x   )     s e   n ≡ 0   m o d   4

g ( n ) ( x ) = c o s   ( x   )     s e   n ≡ 1   m o d   4

g ( n ) ( x ) = - s e n   ( x   )     s e   n ≡ 2   m o d   4

g ( n ) ( x ) = - c o s ( x )   ( x   )     s e   n ≡ 3   m o d   4

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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