Calcule f ' ( 2 ) onde f x = e g x com g x = ∫ 2 x t t 2 + 1 d t .

Passo 1

Olá pessoal, quem tá animado pra matar mais uma questão?

Aqui recebemos algumas informações. Sabemos que:

g x = ∫ 2 x t t 2 + 1 d t

E, que:

f x = e g x

O objetivo é que a gente calcule f ' ( 2 ) .

Então, vamos pensar nesse problema por partes. Primeiro, vamos pensar em como calcular f ' ( x ) .

Para isso deveremos usar a regra da cadeia. Segundo ela:

( p q x = p ' q x ⋅ q ' ( x )

Para calcular g ' ( x ) precisaremos usar o TFC.

Segundo ele, se f ( t ) é uma função contínua em [ a , b ] e

g x =   ∫ a x f t d t

onde x ∈ [ a , b ] , então g ( x ) também é contínua em [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     e m   a , b .

Show de bola! Então vamos lá!

Mãos à obra haha

Passo 2

Bom, vamos começar calculando a derivada de f ( x ) .

Temos:

f x = e g x

Usando a regra da cadeia, como a derivada da função exponencial é a própria exponencial, vamos ter:

f ' x = e g x ⋅ g ' ( x )

Como queremos calcular f ' ( 2 ) , teremos:

f ' 2 = e g 2 ⋅ g ' ( 2 )

Perfeito! Então precisamos calcular g ( 2 ) e g ' ( 2 ) .

Vamos começar por g ( 2 ) .

Pela relação dada, temos que:

g 2 =   ∫ 2 2 t t 2 + 1 d t

Puts, mas se os limites de integração são iguais, a integral é nula. Logo:

g 2 = 0

Indo agora para g ' ( 2 ) , precisaremos usar o TFC. Como comentamos no passo anterior:

g ' x = f x

onde f é a função que está dentro da integral que define g . Ou seja:

f t = t t 2 + 1

Logo:

g ' x = f x = x x 2 + 1

Portanto:

g ' 2 = f 2 = 2 2 2 + 1

Assim:

g ' 2 = 2 5

Perfeito!

Passo 3

Bom, pra finalizar vamos retomar à nossa expressão pra f ' ( 2 ) :

f ' 2 = e g 2 ⋅ g ' ( 2 )

Como g ' 2 = 2 5 e g 2 = 0 , temos:

f ' 2 = e 0 ⋅ 2 5

2 5

Prontinho!! Terminamos!

Valeuuuu 😊

Resposta

2 5

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