Calcule as seguintes derivadas

log ⁡ s e n 2 x

Passo 1

E aí, galerinha! Temos aqui a nossa famosa função log, que convenhamos...não está nem um pouco amigável hehe

Então, o que a gente vai fazer? Vamos aplicar as propriedades dos logaritmos pra esse treco ficar menos feio e a gente conseguir resolver de boa.

log a ⁡ ( b ) = ln ⁡ b ln ⁡ a

Então na verdade o que vamos derivar é:

d d x ln ⁡ s e n 2 x ln ⁡ 10

Bem, l n ⁡ ( 10 ) é uma constante, então pode sair da derivada, e na prática o que vamos ter é:

1 ln ⁡ 10 d d x ( ln ⁡ s e n 2 x

Passo 2

Temos ali uma derivada de uma função composta, e, como saímos disso? Aplicando a regra da cadeia, que nos diz que devemos fazer o produto entre a derivada da função “de fora” com a derivada da função “de dentro”.

Nesse caso, a função de fora é l n e a função de dentro é s e n ( 2 x ) .

Aplicando a regra da cadeia, vamos ter:

1 s e n 2 x d d x s e n 2 x

E ali dentro dessa outra derivada temos um s e n ( 2 x ) que representa a derivada da função “de dentro”. E vou aqui te ajudar nessa derivada, porque tem uma regrinha pra isso!!!

d d x s e n n x = n c o s ( n x )

Logo,

d d x s e n 2 x = 2 c o s ⁡ ( 2 x )

Então, na verdade, temos que:

1 ln ⁡ 10 d d x ( ln ⁡ s e n 2 x = 1 ln ⁡ 10   1 s e n 2 x   2 cos ⁡ 2 x

Passo 3

Agora vamos simplificar isso aí:

2 ln ⁡ 10 cos ⁡ 2 x s e n 2 x = 2 ln ⁡ 10   c o t ⁡ ( 2 x )  

Resposta

log ⁡ s e n 2 x = 2 cot ⁡ 2 x ln ⁡ 10

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