Uma câmera filma o atleta em sua corrida até a linha de chegada. A distância entre o atleta e a chegada é x t , a distância entre a câmera e a linha de chegada vale 8 m e, para manter o foco no atleta, a câmera faz com a linha de chegada o ângulo θ t , conforme a figura. No instante t 0 , o atleta cruza a linha de chegada e a velocidade angular da câmera é θ ' t 0 = 0,05 r a d s

a ) Argumente que tan ⁡ θ t = x t 8

b ) Com o auxílio da regra da cadeia, calcule a derivada d d t tan ⁡ ( θ t ) .

c ) Determine a velocidade do atleta quando ele cruza a linha de chegada.

Passo 1

Falaaaa, blz???? Bora lá começar essa provinha de cálculo 1.

Bom, vamos olhar para cada alternativa separadamente e ir argumentando uma por uma, começando com a letra a.

a ) Argumente que tan ⁡ θ t = x t 8

Para essa afirmação, vamos lembrar do conceito de tangente. Dizemos que a tangente de um ângulo será o lado oposto ao ângulo sobre o adjacente, ou seja, olhando para figura, já fica claro qual a tangente do ângulo θ ( t ) será x t 8

Passo 2

Bora agora olhar a letra b

b ) Com o auxílio da regra da cadeia, calcule a derivada d d t tan ⁡ ( θ t ) .

Bom, como a própria letra diz, usaremos a regra da cadeira, vamos lembrar que regra é essa??

Se temos f x = g ( h x ) uma função dada pela composição de funções, dizemos que:

f ' x = g ' h x h ' ( x )

Essa é a tal da regra da cadeia, agora basta usarmos ela nas funções do enunciado.

Vamos tomar f t = tan ⁡ θ t = g h t

Ou seja, temos:

g t = tan ⁡ t     e     h t = θ ( t )

Como foi dito, pela regra, temos:

f ' t = t a n ' θ t ∙ θ ' t

Porém, vale lembrar que tan ⁡ ' x = sec 2 ⁡ x ,   ou seja:

f ' t = sec 2 ⁡ θ t ∙   θ ' t

Assim terminamos com a letra b, bora ver a última

Passo 3

Olhando a letra C

c ) Determine a velocidade do atleta quando ele cruza a linha de chegada.

Bom, para essa letra, vamos lembrar que:

v t = d ( x t ) d t

Ou seja, a velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo.

A informação do enunciado é que o atleta cruza a linha de chegada no tempo t 0 , ou seja, o que a letra nos pede é v t 0 .

Usando a relação citada, o que nós queremos achar é d ( x t 0 ) d t 0

Lembrando que:

x t = 8 tan ⁡ θ t

Derivando e usando o valor achado na última letra:

v t = 8 sec 2 ⁡ θ t ∙   θ ' t

Agora, como foi dito, queremos analisar essa equação em t = t 0 , ou seja:

v t 0 = 8 sec 2 ⁡ θ t 0 ∙   θ ' t 0

Primeiro, vamos lembrar do enunciado que:

θ ' t 0 = 0,05 r a d s

Além disso, temos que sec ⁡ t = 1 c o s t   , ou seja:

v t 0 = 8 1 ( cos 2 ⁡ θ t 0 0,05  

Porém, vamos analisar que θ t 0 = 0 , pois o ângulo formado entre o atleta e a linha de chegada, quando ele tá na linha de chegada será zero, além disso temos que c o s 0 = 1 , ou seja:

v t 0 = 0,4 m s

Assim terminamos o primeiro probleminha dessa prova, bora para o próximo?

Resposta

a ) Tangente é lado oposto sobre adjacente, olhando para figura fica evidente que tan ⁡ θ t = x t 8

b ) sec 2 ⁡ θ t ∙   θ ' t

c )   0,4 m s

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