O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo t . Em um determinado instante t 0 as dimensões são l = 1   m , w = 2   m e h = 2   m . Sabe-se que l e w estão aumentando a uma taxa de 2   m / s , enquanto h está decrescendo a uma taxa de 3   m / s . Encontre a taxa de variação do volume da caixa no instante t 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma caixa de dimensões:

l = 1   m ,     w = 2   m ,     h = 2   m

Ele fala que as dimensões estão variando, então nós estamos falando das derivadas do comprimento, da largura e da altura:

d l d t = d w d t = 2   m / s

  d h d t = - 3   m / s

Nós queremos determinar a taxa de variação do volume, sabendo que o volume da caixa pode ser dado por V l ,   w ,   h = l w h . Dessa forma, usando a Regra da Cadeia, temos a variação do volume:

d V d t = ∂ V ∂ l ∙ d l d t + ∂ V ∂ w ∙ d w d t + ∂ V ∂ h ∙ d h d t

Então, o que nós vamos fazer é calcular essas derivadas e substituir na expressão.

Vamos lá!

Passo 2

Nós já temos d l d t = d w d t = 2   m / s e   d h d t = - 3   m / s , só falta a gente calcular as derivadas parciais em relação a cada variável.

Calculando a derivada parcial de V em relação a l , consideramos w e h constantes e temos:

∂ V ∂ l = ∂ ∂ l l w h = w h

Da mesma forma, vamos calcular a derivada parcial de V em relação a w e em relação a h :

∂ V ∂ w = ∂ ∂ w l w h = l h

∂ V ∂ h = ∂ ∂ h l w h = l w

Substituindo tudo na expressão para d V / d t , temos a variação do volume da caixa:

d V d t = ∂ V ∂ l ∙ d l d t + ∂ V ∂ w ∙ d w d t + ∂ V ∂ h ∙ d h d t

d V d t = w h ∙ ( 2 ) + l h ∙ ( 2 ) + l w ∙ ( - 3 )

Mas nós sabemos que l = 1   m ,   w = 2   m e h = 2   m , então:

d V d t = ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) + ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) + ( 1 ) ( 2 ) ( - 3 )

d V d t = 8 + 4 - 6

Portanto,

d V d t = 6   m 3 / s

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d V d t = 6   m 3 / s

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x