Considere g x = cos ⁡ x f 2 ( x ) , onde f : R → R é duas vezes diferenciável, f 0 = - 1 e f ' 0 = f ' ' 0 = 2 . Calcule g ' ' ( 0 ) .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinho?

O que vamos fazer nessa questão é mais simples do que parece. Precisamos somente derivar duas vezes nossa função, já que queremos obter g ' ' ( x ) , e depois substituir aqueles valores que temos para a função f ( x ) . Vamos lá?

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada, utilizando a regra da cadeia

g ' x = cos ⁡ x f 2 x ' = - sin 2 ⁡ x f 2 x + cos ⁡ x 2 f ( x ) ∙ x '

Logo, temos

g ' x = cos ⁡ x f 2 x ' = - sin 2 ⁡ x f 2 x + cos ⁡ x 2 f ( x )

Passo 3

Agora o segundo passo é derivarmos a segunda vez

g ' ' x = cos ⁡ x f 2 x ' ' = - sin 2 ⁡ x f 2 x + cos ⁡ x 2 f x ' '

Vamos derivar cada parte da expressão separadamente para facilitar o calculo

Primeira parte:

- sin 2 ⁡ x f 2 x ' = - cos ⁡ x f 2 x - sin ⁡ x 2 f ( x )

Segunda parte:

cos ⁡ x 2 f x ' = - sin ⁡ x 2 f x + cos ⁡ x 2 f ' ( x )

Então, nossa derivada segunda será

g ' ' x = - cos ⁡ x f 2 x - sin ⁡ x 2 f ( x ) - sin ⁡ x 2 f x + cos ⁡ x 2 f ' ( x )

Passo 4

Por fim, vamos substituir o valor 0 na expressão, para calcularmos g ' ' ( 0 ) .

g ' ' 0 = - cos ⁡ 0 f 2 0 - sin ⁡ 0 2 f ( 0 ) - sin ⁡ 0 2 f 0 + cos ⁡ 0 2 f ' ( 0 )

Lembre-se:

cos ⁡ 0 = 1

sin ⁡ 0 = 0

f 0 = - 1

f ' 0 = f ' ' 0 = 2

Então, basta substituirmos esses valores

g ' ' 0 = - ( 1 ) - 1 2 - ( 0 ) 2 ( - 1 ) - ( 0 ) 2 ( - 1 ) + ( 1 ) 2 ( 2 )

g ' ' 0 = - 1 + 4 = 3

g ' ' 0 = 3

Prontinhoooo! Finalizamos!

Resposta

g ' ' 0 = 3

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