Considere a curva C dada pela equação implícita 2 x 2 + y 2 2 = 25 ( x 2 - y ² )

a- Calcule y ' em termos de x   e y .

b- Usando o resultado do item anterior, determine a equação da reta tangente à curva C no ponto (3,1).

Passo 1

Faaala galerinha, suave?

Seguinte, vamos explorar um pouco de derivação implícita e regra da cadeia nessa questão. Mas antes de tudo, vamos relembrar o que é uma função implícita e sua derivada. Você manja da definição? Se liga: Dado y = f ( x ) podemos observar:

i- Equação simples explícita, onde temos a função dependendo apenas da variável x :

y = f x

ii- Equação implícita, onde os valores x e y se misturam de forma que podemos manipular a igualdade como uma função de duas variáveis equivalente a zero:

g x , y = g x , f x = 0

Podemos ver isso na nossa questão:

2 x 2 + y 2 2 = 25 ( x 2 - y ² )

2 x 2 + y 2 2 - 25 x 2 - y 2 = 0

Passo 2

Mas, no fim das contas, podemos derivar tudo em função da variável x e manter a igualdade inicial, lembrando de aplicar a regra da cadeia quando necessário:

d d x [ 2 x 2 + y 2 2 ] = d d x 25 x 2 - y 2

Derivando a expressão da esquerda, vamos aplicar regra da cadeia em ( x 2 + y ² ) ² e no próprio y ² , já que ele é uma função a parte que depende de x .

2 × 2 x 2 + y 2 2 - 1 2 x + 2 y 2 - 1 × y ' = 4 ( x 2 + y ² ) ( 2 x + 2 y y ' )

Ao derivarmos a expressão da direita, temos algo semelhante, tirando a necessidade da primeira aplicação de regra da cadeia no problema anterior.

25 ( 2 x - 2 y y ' )

Logo, nosso resultado é:

4 x 2 + y 2 2 x + 2 y y ' = 25 ( 2 x - 2 y y ' )

Isolando os termos com y ' no lado esquerdo:

8 y x 2 + y 2 y ' + 50 y y ' = 50 x - 8 x ( x 2 + y 2 )

Isolando o y ' em si e obtendo o nosso resultado:

y ' = 50 x - 8 x ( x 2 + y 2 ) 8 y x 2 + y 2 + 50 y

Passo 3

Tendo nossa função derivada, podemos aplicar ela no ponto e obter seu grau de inclinação. Sabendo do grau de inclinação e ponto específico que a reta corta, podemos usar nossa base em geometria analítica para formar a reta.

y ' 3,1 = 150 - 24 ( 9 + 1 ) 8 9 + 1 + 50 = - 90 130 = - 9 13

Logo, nossa reta é:

x , y = 3,1 + t ( 13 , - 9 )

Visto que nossa tangente nada mais é que a razão entre variação de y   por x .

Passo 4

a- y ' = 50 x - 8 x ( x 2 + y 2 ) 8 y x 2 + y 2 + 50 y

b-

x , y = 3,1 + t ( 13 , - 9 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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