Considere a função

f x = x 3 - 3 x 2 + 1 - 7 / 3 + e - x 3 x 2 + x + 4 4 c o s ⁡ ( x )

Então f ' ( 0 ) é igual a?

  1. 1/4
  2. 3 / 2
  3. - 7 / 3
  4. 7 / 16
  5. 0
  6. 1
  7. - 7 / 16
  8. - 1
  9. - 3 / 2
  10. - 1 / 4

Não é necessário justificativa.

Passo 1

Pessoal, vocês repararam que é uma expressão grandona né?

f x = x 3 - 3 x 2 + 1 - 7 / 3 + e - x 3 x 2 + x + 4 4 c o s ⁡ ( x )

Vamos fazer o seguinte, vamos dividir em duas partes:

A x = x 3 - 3 x 2 + 1 - 7 / 3

B x = e - x 3 x 2 + x + 4 4 c o s ⁡ ( x )

Temos que derivar essas duas partes e substituir o x = 0 , para encontrar o valor de:

  f ' ( 0 )

Passo 2

Começando a derivar a primeira parte:

A x = x 3 - 3 x 2 + 1 - 7 / 3

Como temos uma expressão de x elevada a outro número, vamos usar a regra da cadeia:

f x = g h x → f ' x = h ' x ⋅ g ' h x

No nosso caso, temos:

A ' ( x ) = x 3 - 3 x 2 + 1 ' ⋅ - 7 3 x 3 - 3 x 2 + 1 - 7 3 - 1

A expressão interna fica:

x 3 - 3 x 2 + 1 ' = 3 x 2 - 6 x

Logo,

A ' ( x ) = 3 x 2 - 6 x ⋅ - 7 3 x 3 - 3 x 2 + 1 - 10 3

Agora vamos substituir o valor de x = 0 nessa primeira parte:

A ' 0 = 3 ⋅ 0 2 - 6 ⋅ 0 ⋅ - 7 3 0 3 - 3 ⋅ 0 2 + 1 - 10 3 = 0 ⋅ - 7 3 ⋅ 1 = 0

Passo 3

Agora vamos para segunda parte. Como essa expressão é uma fração, nós vamos aplicar a Regra do Quociente.

B x = e - x 3 x 2 + x + 4 4 c o s ⁡ ( x )

Mas primeiro, vamos mudar a forma de enxergar essa raiz. Vamos escrever a raiz como uma potência daquela expressão com um expoente em forma de fração. Por exemplo:

4 = 4 1 / 2 = 2

Então, no nosso caso, temos:

B x = e - x 3 x 2 + x + 4 1 / 2 4 c o s ⁡ ( x )

Agora sim vamos aplicar a Regra do Quociente:

f x = h x g ( x ) → f ' x = h ' x ⋅ g x - h x ⋅ g ' ( x ) g 2 ( x )

Então:

B ' x = e - x 3 x 2 + x + 4 1 2 ' ⋅ 4 cos ⁡ x - e - x 3 x 2 + x + 4 1 2 ⋅ 4 cos ⁡ x ' 4 cos ⁡ x 2

Vamos derivar cada pedacinho por vez, começando por:

4 cos ⁡ x ' = 4 ⋅ - s e n x

Enquanto que em e - x 3 x 2 + x + 4 1 2 ' , temos que aplicar a Regra do Produto:

f x = g x ⋅ h x → f ' x = g ' x ⋅ h x + g x ⋅ h ' ( x )

Daí fica:

e - x 3 x 2 + x + 4 1 2 ' = ( e - x ) ' ⋅ [ 3 x 2 + x + 4 1 2 ] + ( e - x ) ⋅ [ 3 x 2 + x + 4 1 2 ] '

Calculando a derivada de:

( e - x ) ' = - e - x

Enquanto usando a Regra da Cadeia, como fizemos lá no início:

  3 x 2 + x + 4 1 2 ' = 6 x + 1 ⋅ 1 2 ⋅ 3 x 2 + x + 4 1 2 - 1 = 6 x + 1 ⋅ 1 2 ⋅ 3 x 2 + x + 4 - 1 2

Vamos voltar para fazer as substituições? Vamos com calma:

e - x 3 x 2 + x + 4 1 2 ' = ( e - x ) ' ⋅ [ 3 x 2 + x + 4 1 2 ] + ( e - x ) ⋅ [ 3 x 2 + x + 4 1 2 ] ' = ( - e - x ) ⋅ [ 3 x 2 + x + 4 1 2 ] + ( e - x ) ⋅ 6 x + 1 ⋅ 1 2 ⋅ 3 x 2 + x + 4 - 1 2

Onde eu aplico isso? Bem aqui:

B ' x = e - x 3 x 2 + x + 4 1 2 ' ⋅ 4 cos ⁡ x - e - x 3 x 2 + x + 4 1 2 ⋅ 4 cos ⁡ x ' 4 cos ⁡ x 2 = { ( - e - x ⋅ 3 x 2 + x + 4 1 2 + ( e - x ) ⋅ [ 6 x + 1 ⋅ 1 2 ⋅ 3 x 2 + x + 4 - 1 2 ] } ⋅ 4 cos ⁡ x } - { e - x 3 x 2 + x + 4 1 2 ⋅ 4 ⋅ - s e n x } 16 cos 2 ⁡ x

Ufa, esse segundo termo B ( x ) não foi curto não! Mas achamos.

Passo 4

Agora vamos substituir o valor de x = 0 , então:

B ' 0 = = { ( - e - 0 ⋅ 3 ⋅ 0 2 + 0 + 4 1 2 + ( e - 0 ) ⋅ [ 6 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 2 ⋅ 3 ⋅ 0 2 + 0 + 4 - 1 2 ] } ⋅ 4 cos ⁡ 0 } - { e - 0 3 ⋅ 0 2 + 0 + 4 1 2 ⋅ 4 ⋅ - s e n 0 } 16 cos 2 ⁡ 0

Não vamos esquecer que:

cos ⁡ 0 = 1

e 0 = 1

E

s e n 0 = 0

Então:

B ' 0 = { ( - 1 ⋅ 4 1 2 + ( 1 ) ⋅ [ 1 ⋅ 1 2 ⋅ 4 - 1 2 ] } ⋅ 4 ⋅ 1 } - { 1 ⋅ 4 1 2 ⋅ 4 ⋅ 0 } 16 ⋅ 1 2

B ' 0 = - 1 ⋅ 4 + 1 2 ⋅ 1 4 ⋅ 4 - 0 16 = - 2 + 1 4 ⋅ 4 16 = - 8 + 1 4 ⋅ 4 16 = - 7 16

Encontramos o valor para essa segunda, vamos juntar tudo?

Passo 5

Inicialmente, separamos a função em duas partes:

f x = A x + B x

Para que a derivação fosse mais fácil:

f ' x = A ' x + B ' x

E aproveitamos para substituir o valor de x :

f ' 0 = A ' 0 + B ' 0

No passo 2, achamos que:

A ' 0 = 0

E no passo 4, que:

B ' 0 = - 7 16

Logo, nosso valor final é:

f ' 0 = A ' 0 + B ' 0 = 0 + - 7 16 = - 7 16

Resposta

Letra “g”

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