Cristais de clorato de sódio são fáceis de crescer no formato de cubos permitindo uma solução de água e clorato de sódio evaporar vagarosamente. Se V for o volume de cada cubo com comprimento de lado x :

Mostre que a taxa de variação do volume de cada cubo em relação ao comprimento da aresta é igual a metade da área da superfície do cubo.

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

O comando da questão está pedindo pra calcular d V d x em um determinado valor de x. Mas a gente só consegue fazer isso se encontrar uma equação que consiga correlacionar o volume do cubo com o tamanho do seu lado.

Então, o primeiro passo vai ser a gente encontrar essa relação e depois derivar V em relação a x e por fim comparar com a área superficial do mesmo.

Passo 2

Sabemos que o volume do cubo está diretamente relacionado com seu lado pela equação:

V = x 3

Então se queremos conhecer d V / d x , basta derivarmos o volume em função de x :

d V d x = 3 x 2

Passo 3

Um cubo possui 6 faces, e cada face tem lado x . A área superficial A s   de cada lado é igual a x 2 , ou seja, como temos 6 faces, a área superficial total do cubo será a soma das áreas de suas 6 faces.

A s = 6 x 2

O enunciado disse que precisamos demostrar que d V / d x é igual a metade da área superficial do cubo.

Ou seja, se a A s = 6 x 2 , temos que a metade da área superficial do cubo será dada por:

M e t a d e   d e   A s = 1 2   6 x 2 = 3 x 2

Note que temos então:

d V d x = 3 x 2 = M e t a d e   d e   A s

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x