As curvas

γ 1 : x 2 + y 2 = 4 ;     γ 2 : x - 2 2 + y 2 = 1     e   γ 3 : x + 2 2 + y 2 = 1

São percorridas no sentido anti-horário e considere um campo F → x , y , de classe C 1 no domínio R 2 - ± 2,0 , tal que:

r o t F → x , y = 0 → ,     ∫ γ 2 F → ⋅ d r → = 6       e   ∫ γ 3 F → ⋅ d r → = 9

Qual o valor da integral de linha ∫ γ 1 F → ⋅ d r → ?

Passo 1

Peço desculpas, parece que minha resposta anterior estava incorreta. Vou refazer o cálculo para encontrar o valor correto da integral de linha ∫ γ 1 F → ⋅ d r →

Primeiro, vamos usar o Teorema de Stokes para a curva γ_2:

∫ γ 2 F → ⋅ d r → ∬ D 2 r o t   F → ⋅ d A →

onde D 2 é a região delimitada por γ 2 e r o t   F →   é o rotacional de F → .

Como a integral de linha ∫ γ 2 F → ⋅ d r →   é dada como 6, temos:

∬ D 2 r o t   F → ⋅ d A → = 6

Agora, vamos usar o Teorema de Stokes para a curva γ 3 :

∮ γ 3 F → ⋅   d r → =   ∬ D 3 r o t   F → ⋅ d A →  

onde D 3 é a região delimitada por γ 3 .

Passo 2

Como a integral de linha ∫ γ 3 F → ⋅ d r → é dada como 9, temos:

∬ D 3 r o t   F → ⋅ d A → = 9

Agora, vamos somar as duas equações:

∬ D 2 r o t   F → ⋅ d A → +   ∬ D 3 r o t   F → ⋅ d A → =   6   +   9 ,

∬ D 2   ∪   D 3 r o t   F → ⋅ d A → =   15 .

Aqui, D 2   ∪   D 3 representa a união das duas regiões D 2   e   D 3 . Portanto, a integral dupla de r o t   F → sobre a região D 2   ∪   D 3 é igual a 15.

Agora, vamos encontrar a integral de linha ∫ γ 1 F → ⋅ d r →   usando o Teorema de Stokes:

∮ γ 1 F → ⋅ d r → =   ∬ D 2 ∪   D 3 r o t   F → ⋅ d A → =   15 .

Portanto, o valor da integral de linha ∫ γ 1 F → ⋅ d r →     é igual a 15.

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha ∫ γ 1 F → ⋅ d r →     é igual a 15.

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