14 - Derive:

q) y = e x c o s 2 x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que obter a derivada da função y = e x c o s 2 x .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Analisando a função, vemos que se trata do produto de duas funções sendo uma função composta então temos que aplicar algumas técnicas para nos auxiliar nesse problema.

Como há o produto de duas funções, podemos aplicar a regra do produto e para a derivada de funções compostas, o melhor método de derivação é a regra da cadeia.

Nesses métodos dizemos que a derivada de uma função f x g x é dada pela fórmula

f x g x ' = f ' x g x + f x g ' x

E para a derivada de funções p q x é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja

p q x ' = q ' x · p ' q x

Vamos ver como funciona na prática? 😁

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra do produto como

y ' = d e x d x · c o s 2 x + e x · d c o s 2 x d x

Já a derivada de c o s 2 x é dada pela regra da cadeia pois se trada de uma função composta

y ' = d e x d x · c o s 2 x + e x · d 2 x d x · d c o s u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de e x e c o s u são

d e x d x = e x

d c o s u d u = - s e n u

Já pelo método de derivação polinomial a derivada de 2 x é

d 2 x d x = 2

Substituindo em y ' ...

y ' = e x · c o s 2 x + e x · 2 · - s e n u

y ' = e x c o s 2 x - 2 s e n u

Voltando u para q x

y ' = e x c o s 2 x - 2 s e n 2 x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y ' = e x c o s 2 x - 2 s e n 2 x

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