14 - Derive:

r) y = e - x 2 + l n 2 x + 1

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que obter a derivada da função y = e - x 2 + l n 2 x + 1 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Analisando a função, vemos que se trata de uma função composta então temos que aplicar uma técnica para nos auxiliar nesse problema.

Para a derivada de funções compostas, o melhor método de derivação é a regra da cadeia.

Nesse método dizemos que a derivada de uma função f g x é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja

y ' = g ' x · f ' g x

Vamos ver como funciona na prática? 😁

Passo 2

Derivando a função, temos

y ' = d e - x 2 + l n 2 x + 1 d x

y ' = d e - x 2 d x + d l n 2 x + 1 d x

Aplicando a regra da cadeia

y ' = d - x 2 d x · d e u d u + d 2 x + 1 d x · d l n v d v

Pelo método de derivação polinomial, as derivadas de - x 2 e 2 x + 1 são

d - x 2 d x = - 2 x

d 2 x + 1 d x = 2

E pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de e u e l n v são

d e u d u = e u

d l n v d v = 1 v

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo os resultados em y '

y ' = d - x 2 d x · d e u d u + d 2 x + 1 d x · d l n v d v

y ' = - 2 x · e u + 2 · 1 v

Voltando u para - x 2 e v para 2 x + 1 , temos

y ' = - 2 x · e - x 2 + 2 · 1 2 x + 1

y ' = - 2 x e - x 2 + 2 2 x + 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y ' = - 2 x e - x 2 + 2 2 x + 1

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